四原子檢測模型的Bayes反轉

目標與範圍

由完整joint law算prior、likelihood與posterior。

合成有限模型，不作醫療或因果推論。

已知條件與符號

• work

• G1 — Ω={D+,D-,N+,N-}的質量依序為1/20、1/20、9/100、81/100；D={D+,D-}，N為D補集，E={D+,N+}。

• D,N — 互斥假設事件
• E — evidence事件

規則與來源

• mko_definition · cited — 完整有限原子law上用精確有理質量。二事件與partition形式都核正conditioning denominator；partition必須互斥且exhaustive，total probability得到的evidence mass也須正。Bayes不表示因果。 · mko-bayes-theorem
• work · prerequisite — 正分母下P(A|B)=P(A∩B)/P(B)；完整互斥partition可用有限可加性求全機率。

逐步主鏈

1/20+1/20+9/100+81/100

1

D\cap N=\varnothing,\quad D\cup N=\Omega

P(D)=1/10,\quad P(N)=9/10

P(E\cap D)=1/20

P(E\mid D)=(1/20)/(1/10)=1/2

P(E\cap N)=9/100

P(E\mid N)=(9/100)/(9/10)=1/10

P(E)=P(E\mid D)P(D)+P(E\mid N)P(N)

P(E)=1/20+9/100=7/50>0

P(D\mid E)=P(D\cap E)/P(E)

P(D\mid E)=(1/20)/(7/50)=5/14

P(N\mid E)=(9/100)/(7/50)

P(N\mid E)=9/14,\quad5/14+9/14=1

P(E\mid D)P(D)/P(E)

\frac{(1/2)(1/10)}{7/50}=5/14

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 結果只描述條件law，不識別因果效果。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — posterior總和核對依同一evidence事件。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 5/14與likelihood1/2不同，方向沒有交換成等號。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 兩項皆保留prior，且正性已核。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — N的prior是9/10，不能誤用D的1/10。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 分母1/10嚴格正，商有定義。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — partition是由原子集合驗證，非假設獨立。
• S01 · premise_audit · G1, work — 不得只列陽性事件而漏陰性質量。

錯誤控制與反例

完整partition

先核D與N互斥且窮盡，再使用全機率。

方向

以相同joint分子、不同正分母區分兩種條件機率。

• P(D|E)=P(E|D)=1/2。 → reject — 完整prior與evidence給5/14。
• posterior正比likelihood而不必prior。 → reject — 此處prior1/10與9/10不同，省略會改結果。
• 可在P(E)=0時照算Bayes商。 → reject — conditioning分母必須嚴格正。

結論與限制

P(D|E)=5/14，P(N|E)=9/14；這不是因果結論。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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