選取y因子的完整二項展開

目標與範圍

證一般係數責任並完整展開n=4。

n非負整數，x、y可交換；不含非整數指數。

已知條件與符號

• work

• G1 — n∈N0，x、y位於commutative real polynomial ring；實例n=4。

• k — y因子數
• S — 選y的位置子集

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — n∈N_0，(x+y)^n=sum_{k=0}^n C(n,k)x^(n-k)y^k，coefficients exact且indices/exponents不可錯置。n=0給constant1。combinatorial witness選k個y factors；negative/noninteger exponent與noncommuting variables不在本輪。 · mko-binomial-theorem
• work · prerequisite — 有限分配律、可交換乘法、大小k子集數comb(n,k)=n!/[k!(n-k)!]；空乘積為1。

逐步主鏈

(x+y)^n=\prod_{i=1}^{n}(x+y)

\sum_{S\subseteq\{i\in\mathbb Z:1\le i\le n\}}x^{n-|S|}y^{|S|}

|S|=k

\#\{S:|S|=k\}=\binom nk,\quad x^{n-|S|}y^{|S|}=x^{n-k}y^k

k\in\{j\in\mathbb Z:0\le j\le n\}

(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom nk x^{n-k}y^k

n=4,\quad k=0,1,2,3,4

\binom40,\binom41,\binom42,\binom43,\binom44=1,4,6,4,1

(x+y)^4

x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4

x=2,\quad y=-1

(2-1)^4=16-32+24-8+1=1

n=0

(x+y)^0=1=\binom00x^0y^0

xy\ne yx\quad\text{(outside scope)}

(x+y)^2=x^2+xy+yx+y^2\text{ need not equal }x^2+2xy+y^2

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 不把commutative證明外推矩陣。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 這是polynomial identity，包含x+y=0時的常數多項式約定。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 奇次y項負、偶次項正。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 每monomial總degree皆4。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 中間係數6不是4。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 指數由選y的k決定，不交換角色。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — commutativity讓不同位置選擇合併為同一monomial。
• S01 · premise_audit · G1, work — index set是全部1≤i≤n整數；每個factor選擇都保留。

錯誤控制與反例

指數

k個y對應x^(n-k)y^k。

完整係數

五項包括兩個端點；exact polynomial grid僅核n=4 identity。

• (x+y)^4只有x4+y4。 → reject — x=y=1時左16、右2。
• n=-1仍是同一有限展開。 → reject — n屬N0是必要scope，負指數不是此polynomial。
• 任意矩陣x、y也可合併xy與yx。 → reject — 不交換時xy與yx可不同。

結論與限制

按子集完整證二項公式；n=4係數為1、4、6、4、1。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• adopted source SHA-256: ee47015e5d6cac87bd69650c5b71ea2b0a20f9578bdc2c3e785bdccb17535ada
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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