Catalan卷積與整除證書

目標與範圍

從C0完整生成C4並核兩個closed forms。

n=4 exact例與一般整除identity；不證所有Catalan bijections。

已知條件與符號

• work

• G1 — C0=1，所有n≥0用C_(n+1)=sum_(i=0)^n C_i C_(n-i)。本例比較n=4的兩個已引用Catalan closed forms。

• C_n — 0-based Catalan序列

規則與來源

• mko_definition · cited — C_(n+1)=sum_{i=0}^n C_i C_(n-i)；C_n=binomial(2n,n)/(n+1)=binomial(2n,n)-binomial(2n,n+1)。division前必須驗(n+1)整除binomial(2n,n)，不可依integer truncation。domain n≥0且不可混用C_0/C_1 index convention。 · mko-catalan-numbers
• work · prerequisite — 有限卷積定義；binomial factorial identity與超過上標時comb=0 convention；Catalan兩closed forms以本MKO為已引用事實，非此例證明的一般定理。

逐步主鏈

C_0=1

C_1=C_0C_0=1

C_2=C_0C_1+C_1C_0

C_2=2

C_3=C_0C_2+C_1C_1+C_2C_0

C_3=2+1+2=5

C_4=C_0C_3+C_1C_2+C_2C_1+C_3C_0

C_4=5+2+2+5=14

\binom84=8!/(4!4!)

\binom84=70,\quad70\bmod5=0

\binom84/(4+1)

70/5=14=C_4

\binom85=56

\binom84-\binom85=70-56=14

\binom{2n}{n+1}=\binom{2n}{n}\frac{n}{n+1}\quad(n\ge0)

\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n+1}=\frac1{n+1}\binom{2n}{n}\in\mathbb Z

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 這證integrality，不把它誤稱卷積closed form的完整一般證明。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 下標n+1=5不能誤用n-1。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 此數值吻合不單獨證closed form對全部n。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 不可用截斷商冒充整除證書。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 不是只加左右兩端得10。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 中間split不可漏。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — 兩項相同仍各有一個index。
• S01 · premise_audit · G1, work — 空物件的C0不是零。

錯誤控制與反例

index

C4使用n=3的卷積與n=4的closed form。

exact除法

先70 mod5=0，後70/5=14。

• C0=0仍給相同序列。 → reject — 第一卷積即給C1=0而不是1。
• 70//5可代替餘數檢查的一般責任。 → reject — 截斷運算本身不證整除，須另核remainder0。
• C4只需C0C3+C3C0=10。 → reject — 中間兩split各給2，正確14。

結論與限制

C4=14，central coefficient70可被5整除，且70-56=14。

驗證及來源綁定

4 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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