三角形全部二色配置的排除

目標與範圍

以上界與完整低色數搜尋證chi=3。

n=3 exact枚舉；不以greedy最優性代替。

已知條件與符號

• work

• G1 — V={0,1,2}，E={01,02,12}；二色labels為0、1，配置向量順序(0,1,2)。

• V,E — 完整頂點與邊集合
• χ(G) — 最小色數

規則與來源

• mko_definition · cited — 一個proper k-coloring只證chi(G)<=k；等號還須排除(k-1)-coloring。小型完整圖以exhaustive search給下界並用明示著色給上界；greedy結果不當作最優性。空頂點圖採chi=0，非空無邊圖採chi=1。 · mko-chromatic-number
• work · prerequisite — 有限無向簡單圖的邊為無loop、無重複unordered pairs；圖性質須對完整明示V、E逐一檢查。 proper coloring使每邊兩端異色；χ為全體total proper colorings的最小使用色數，k-colorable表示最多k色。

逐步主鏈

c=(0,1,2)

c(0)\ne c(1),\quad c(0)\ne c(2),\quad c(1)\ne c(2)

c:V\to\{0,1\}

2^3=8\text{ assignments}

000,001

c(0)=c(1)=0\implies01\text{ violated}

010,101

c(0)=c(2)\implies02\text{ violated}

011,100

c(1)=c(2)\implies12\text{ violated}

110,111

c(0)=c(1)=1\implies01\text{ violated}

\text{no proper map }V\to\{0,1\}

\chi(G)>2

2<\chi(G)\le3,\quad\chi(G)\in\mathbb N

\chi(G)=3

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 空圖chi=0、非空無邊chi=1是另明示conventions。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 兩色排除是全域下界，不是一個失敗候選。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 配置集合為000、001、010、011、100、101、110、111。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 0、1色號對換不改違規性。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 不只檢相鄰編號邊，02也在圖中。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 兩案分別列出，不留未核尾端。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — 使用最多二色不是必須兩色皆出現。
• S01 · premise_audit · G1, work — 仍需排除較少色數才有等號。

錯誤控制與反例

枚舉完整

八個bit配置各出現一次。

上下界

先三色見證，再排所有二色，最後用整數性。

• 找到三色就直接證chi=3。 → reject — 它只給上界；八案排除才給下界。
• 010在三角形proper。 → reject — 邊02兩端都是0。
• 非空無邊圖chi=0。 → reject — 每頂點仍須有一色，最小為1。

結論與限制

完整八案排除二色且有三色見證，故chi=3。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）