在鏈狀三點拓撲求閉包與內部

目標與範圍

求 A={b} 的閉包及內部。

完整有限拓撲的逐集計算；沒有指定度量。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}，完整候選族 tau={空集,{a},{a,b},X}，A={b}。

• \tau — 完整開集族
• \overline A — 閉包
• A^\circ — 內部

規則與來源

• mko_definition · cited — 題目先完整驗證有限拓撲，再由全部閉超集或開子集精確求閉包與內部。空集、全空間及拓撲相對性均保留，不暗中使用度量。 · mko-closure-and-interior
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 閉集是開集的相對補集；閉包為全部閉超集之交，內部為全部開子集之聯。

逐步主鏈

\tau=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},X\}

\varnothing,X\in\tau

\varnothing\subset\{a\}\subset\{a,b\}\subset X

U\cup V=\max_{\subseteq}(U,V),\quad U\cap V=\min_{\subseteq}(U,V)

F=X\setminus U\ (U\in\tau)

\mathcal F=\{X,\{b,c\},\{c\},\varnothing\}

A=\{b\},\quad A\subseteq F\in\mathcal F

\{F\in\mathcal F:A\subseteq F\}=\{\{b,c\},X\}

\overline A=\bigcap\{F\text{ closed}:A\subseteq F\}

\overline A=\{b,c\}\cap X=\{b,c\}

U\in\tau,\quad U\subseteq\{b\}

\{U\in\tau:U\subseteq A\}=\{\varnothing\}

A^\circ=\bigcup\{U\in\tau:U\subseteq A\}

A^\circ=\varnothing

A^\circ\subseteq A\subseteq\overline A

\varnothing\subseteq\{b\}\subseteq\{b,c\}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S05, S07 — 包含檢查只是結果核對；真正的閉包與內部由先前完整交聯給出。
• S07 · premise_audit · S06 — 空集確實開且在 A 中；沒有較大的開子集可加入。
• S06 · inverse_equivalence · G1, S02 — 核對全部三個非空開集而不是只看最小開集的名稱。
• S05 · premise_audit · S04 — {b,c} 是閉且含 A；任何閉超集都含它，核到最小性。
• S04 · inverse_equivalence · G1, S03 — 兩個入選集合都含 b，兩個落選集合都不含，已窮盡四項。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 把四個閉集再取補集恰好回到原拓撲，確認全集綁定。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 這是列出的整族的鏈性，不是只核一對集合。
• S01 · premise_audit · G1 — 只核端點不足以完成公理；後面仍要核交與聯。

錯誤控制與反例

全族責任

先列全部閉超集再取交，先列全部開子集再取聯。

全集綁定

補集均相對 X，不相對 A。

• 閉包是 X，因為 X 閉且含 A。 → reject — 漏掉更小閉超集 {b,c}。
• {b} 的內部是 {b}。 → reject — {b} 不在完整開集族。
• 上述答案對 X 上所有拓撲都一樣。 → reject — 離散拓撲使 {b} 自己開且閉。

結論與限制

在指定拓撲，閉包 {b,c}、內部空集。空集與 X 的閉包及內部分別仍是自己。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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