有限子空間的緊緻性

目標與範圍

證 K={b,c} 在指定母空間中緊緻，並核相對開覆蓋。

完整有限模型；不把緊緻普遍改寫成閉且有界。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}, tau={空集,{a},{a,b},X}, K={b,c}。

• \tau_K — 誘導拓撲
• V_i — 相對開覆蓋成員

規則與來源

• mko_definition · cited — cover須覆蓋K，subcover只能從original cover選取。單一cover通過不證一般compactness；完整有限topology/finite subset由有限性定理compact，空集採compact convention，但不得外推infinite spaces或把compact普遍當closed-and-bounded。 · mko-compact-subset
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — K 的相對開集為 U∩K（U 母開）；K 緊緻指每個相對開覆蓋有取自原索引的有限子覆蓋。

逐步主鏈

\varnothing\subset\{a\}\subset\{a,b\}\subset X

\tau\text{ is a topology}

U\cap K\ (U\in\tau)

\varnothing,\varnothing,\{b\},K

\tau_K=\{\varnothing,\{b\},K\}

\tau_K\text{ is a topology on }K

K\subseteq\bigcup_{i\in I}V_i,\quad V_i\in\tau_K

c\in V_j\text{ for some }j\in I

c\in V_j\in\tau_K

V_j=K

J=\{j\}\subseteq I,\quad\bigcup_{i\in J}V_i=K

K\text{ is compact in the subspace topology}

(V_1,V_2)=(\{b\},K)

J=\{2\}\text{ covers }K;\quad\{1\}\text{ does not}

K=\varnothing\text{ as a separate boundary}

\varnothing\text{ has the empty finite subcover}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S03 — 空目標的聯集包含責任真，與非空例子不同。
• S07 · premise_audit · G1, S03 — 此特例與全稱證明分開。
• S06 · premise_audit · S04, S05 — 不依 K 是否母空間開或閉。
• S05 · premise_audit · S03, S04 — 窮盡三個相對開集才可此推論。
• S04 · premise_audit · S03 — j 依覆蓋選取，覆蓋並未固定為單一測試。
• S03 · premise_audit · S02 — 全集在此步已改為 K。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 相對開集見證不需包含於 K。
• S01 · premise_audit · G1 — 核的是完整四項族。

錯誤控制與反例

覆蓋在 K

相對聯集要含 K，不需含 X。

原索引

有限子覆蓋保留原族成員。

• {b} 單獨覆蓋 K。 → reject — c 未被覆蓋。
• 任何相對開集也在母空間開。 → reject — {b} 不屬母拓撲。
• 所有拓撲的緊緻等於閉且有界。 → reject — 本例未指定度量；一般結論需額外假設。

結論與限制

K 在誘導拓撲緊緻；相對開集為空集、{b}、K。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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