有限拓撲的全稱緊緻證書

目標與範圍

證明三點鏈狀拓撲對每個開覆蓋都有有限子覆蓋。

有限空間的全稱論證，另核指定覆蓋；不分類無限空間。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}，tau={空集,{a},{a,b},X}；覆蓋可為任意索引族 (U_i)_{i∈I}。

• I — 任意覆蓋索引集
• J — 有限原索引子集

規則與來源

• mko_definition · cited — 本輪完整驗證有限carrier/topology並使用有限性全稱定理：open family本身有限，故任何cover已有有限subcover。另核 supplied cover，但單一cover成功不證一般或無限空間compact。 · mko-compact-topological-space
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 緊緻：對每個索引開覆蓋 (U_i)_{i∈I}，存在有限 J⊆I 使原成員 (U_j)_{j∈J} 仍覆蓋全空間。

逐步主鏈

\varnothing\subset\{a\}\subset\{a,b\}\subset X

\tau\text{ is a complete topology with }4\text{ members}

X=\bigcup_{i\in I}U_i,\quad U_i\in\tau

c\in U_j\text{ for some }j\in I

c\in U_j\in\tau

U_j=X

J=\{j\}\subseteq I

\bigcup_{i\in J}U_i=X,\quad |J|=1

\forall\text{ open covers }(U_i)_{i\in I},\ \exists J\subseteq I\text{ finite}

X\text{ is compact}

D=\{U_i:i\in I\}\subseteq\tau

|D|\le4

(\{a\},\{a,b\},X)

\{X\}\text{ is a subcover of this supplied cover}

X=\varnothing\text{ in the empty-space boundary}

J=\varnothing\text{ covers }X

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S05 — 只處理空載體的獨立邊界，未把本例 X 換掉。
• S07 · premise_audit · S01 — 這一步特例和 S05 的全稱結論來自不同層級。
• S06 · premise_audit · S01 — 任意多次重複不會增加不同開集的數目。
• S05 · premise_audit · S02, S04 — 關鍵前提是任意性，不能由一次數值成功反推。
• S04 · premise_audit · S03 — 沒有用不在原族的集合替換 U_j。
• S03 · premise_audit · S01, S02 — 這是窮盡開集後的結論，非單一成員抽查。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 選出的 j 可以依覆蓋而變，符合每覆蓋存在子覆蓋的量詞。
• S01 · premise_audit · G1 — 完整族的有限性已核，不是有限抽樣。

錯誤控制與反例

全稱入口

先固定任意覆蓋，再選依覆蓋而定的原索引。

有限與抽樣

完整有限拓撲的證書不是有限測試推一般結論。

• 抽查三個覆蓋足以證任意空間緊緻。 → reject — 未遍及所有覆蓋。
• 原覆蓋不含 X 也可任意把 X 加進子覆蓋。 → reject — 子覆蓋必選原成員；此例是先證原族實含 X。
• 有限開集樣本代表完整無限空間拓撲。 → reject — 有限完整性是本證書前提，不可外推。

結論與限制

此完整有限拓撲緊緻；證明對任意索引覆蓋成立。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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