有限條件期望：由分割生成的 σ 代數上求 E[X|G]，含零質量區塊

目標與範圍

在 Ω={0,1,2,3,4} 上，質量依序為 1/8、3/8、1/4、1/4、0，X 的值依序為 4、0、2、6、10，G 由分割 {0,1}、{2,3}、{4} 生成。由條件期望的兩項定義（G 可測、在每個 G 事件上積分相同）求出 E[X|G] 的全部版本，證明它在兩個正質量區塊上必為 1 與 4，在零質量區塊 {4} 上可取任意值（只幾乎處處決定），並說明逐點條件化、只核總期望與不加權平均為何都錯。

只在 MKO 範圍內工作：完整有限樣本、精確有理質量、X 值與條件分割屬於同一機率空間（假設 a1）；主要計算用正質量區塊，所有版本幾乎處處唯一，而零質量區塊保留逐點非唯一的自由，不強迫點值（假設 a2）。不處理一般（非離散）條件期望的存在性、filtration 或 martingale；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• prob_axioms
• finite_sum_rules
• set_operations_def
• frac_rules
• mul_inverse_nonzero

• G1 — Ω={0,1,2,3,4}；P({0})=1/8、P({1})=3/8、P({2})=1/4、P({3})=1/4、P({4})=0（總和 1）；X(0)=4、X(1)=0、X(2)=2、X(3)=6、X(4)=10；全部屬於同一空間（MKO 假設 a1）。
• G2 — 條件分割 B_1={0,1}、B_2={2,3}、B_3={4}；G=σ(B_1,B_2,B_3)。
• G3 — 定義：Y 是 E[X|G] 的一個版本，若 (i) Y 為 G 可測，且 (ii) 對每個 A∈G，E[Y𝟏_A]=E[X𝟏_A]，其中 E[Z𝟏_A]=Σ_{ω∈A} Z(ω)P({ω})。

• \Omega,\ P — 樣本空間與機率
• B_1,B_2,B_3 — 條件分割的三個區塊 {0,1}、{2,3}、{4}
• \mathcal{G}=\sigma(B_1,B_2,B_3) — 由分割生成的 σ 代數
• E[Z\mathbf{1}_A] — Z 在事件 A 上的積分 Σ_{ω∈A} Z(ω)P({ω})
• Y_c — E[X|G] 的一個版本，在 B_3 上取值 c

規則與來源

• prob_axioms · prerequisite — 機率公理：P(A)≥0；P(Ω)=1；兩兩互斥事件的（可數）聯集機率等於各機率之和。由此 P(∅)=0、P(Aᶜ)=1−P(A)。
• finite_sum_rules · prerequisite — 有限和：Σ_{i=1}^{0} a_i=0、Σ_{i=1}^{n+1} a_i=Σ_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1}；Σ(a_i+b_i)=Σa_i+Σb_i；Σ c·a_i=c·Σa_i。
• set_operations_def · prerequisite — 集合運算：x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B；x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∖B ⇔ x∈A 且 x∉B；在全集 U 中 Aᶜ=U∖A。
• frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。
• mul_inverse_nonzero · prerequisite — 非零數的倒數：在 ℚ、ℝ、ℂ 中，若 u≠0，存在 1/u 使 u·(1/u)=1；對 u≠0 定義 v/u 為 v·(1/u)。u=0 時沒有倒數，v/0 不定義。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• image_preimage_def · prerequisite — 像與原像：f(S)={f(a) ∣ a∈S}；f⁻¹(T)={a∈A ∣ f(a)∈T}。原像記號不預設 f 有反函數。
• subset_def · prerequisite — 子集：A⊆B 表示 A 的每個元素都是 B 的元素，即 ∀x (x∈A⇒x∈B)。
• forall_elim · prerequisite — ∀消去（代入特例）：若 ∀x∈D, P(x) 成立且 a∈D，則 P(a) 成立。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• mul_zero · prerequisite — 乘以零：u·0=0。理由：u·0=u·(0+0)=u·0+u·0，兩邊同減 u·0 得 0=u·0。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• iff_intro · prerequisite — 雙條件：P⇒Q 與 Q⇒P 都成立時，P⇔Q 成立；反之亦然。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• mko_condexp_def · cited — 在同一有限機率空間上，條件期望 E[X|G] 須 G 可測，且在每個 G 可測事件上與 X 積分相同。對分割生成的 G，它在每個正質量區塊為加權平均；零質量區塊只幾乎處處決定，不除以零。 · mko-conditional-expectation
• sigma_partition · prerequisite — 有限集合 Ω 的分割 𝒫 生成的 σ 代數 σ(𝒫) 恰由區塊的聯集組成（含空聯集 ∅）；共有 2^{|𝒫|} 個事件。
• meas_def · prerequisite — 在有限 Ω 上，函數 Y 為 G 可測，當且僅當對每個實數集合 S，Y^{-1}(S)∈G。
• L_meas_const · lemma — Y 為 σ(𝒫) 可測，當且僅當 Y 在 𝒫 的每個區塊上為常數。
• L_block_reduce · lemma — 對 σ(𝒫)，條件 (ii) 對所有 A∈σ(𝒫) 成立，當且僅當它對每個區塊成立。

逐步主鏈

\mathcal{G}=\sigma(B_1,B_2,B_3)

\mathcal{G}=\{\varnothing,B_1,B_2,B_3,B_1\cup B_2,B_1\cup B_3,B_2\cup B_3,\Omega\}

Y\ \mathcal{G}\text{-measurable}

Y=c_1\ \text{on}\ B_1,\ Y=c_2\ \text{on}\ B_2,\ Y=c_3\ \text{on}\ B_3

\forall A\in\mathcal{G}:\ E[Y\mathbf{1}_A]=E[X\mathbf{1}_A]

\forall j:\ E[Y\mathbf{1}_{B_j}]=E[X\mathbf{1}_{B_j}]

E[Y\mathbf{1}_{B}]=E[X\mathbf{1}_{B}],\ Y=c\ \text{on}\ B,\ P(B)>0

c=\frac{E[X\mathbf{1}_B]}{P(B)}

B_1=\{0,1\}

P(B_1)=\tfrac12,\ E[X\mathbf{1}_{B_1}]=\tfrac12,\ c_1=1

B_2=\{2,3\}

P(B_2)=\tfrac12,\ E[X\mathbf{1}_{B_2}]=2,\ c_2=4

B_3=\{4\},\ P(B_3)=0

c_3\cdot 0=10\cdot 0\ \text{for every}\ c_3\in\mathbb{R}

c_1=1,\ c_2=4,\ c_3\ \text{arbitrary}

E[X|\mathcal{G}]=Y_c,\ Y_c=\begin{cases}1&\text{on }B_1\\4&\text{on }B_2\\c&\text{on }B_3\end{cases},\ c\in\mathbb{R}

A=B_1\cup B_2,\ A=\Omega

E[Y_c\mathbf{1}_A]=E[X\mathbf{1}_A]=\tfrac52

Z=X

Z\ \text{not}\ \mathcal{G}\text{-measurable}

W\equiv\tfrac52

E[W]=E[X]\ \text{but}\ E[W\mathbf{1}_{B_1}]=\tfrac54\neq\tfrac12

c_1'=\tfrac{4+0}{2}=2

E[c_1'\mathbf{1}_{B_1}]=1\neq\tfrac12

\text{S08, S10 to S12}

E[X|\mathcal{G}]=1\ \text{on}\ B_1,\ 4\ \text{on}\ B_2,\ \text{arbitrary on the null block}\ B_3

局部子步與引理

Y=c_j\ \text{on}\ B_j\ (j=1,2,3)

Y^{-1}(S)=\bigcup_{j:\,c_j\in S}B_j\in\mathcal{G}

Y\ \mathcal{G}\text{-measurable},\ \omega\in B_j,\ y=Y(\omega)

Y=y\ \text{on all of}\ B_j

\forall A\in\mathcal{G}:\ E[Y\mathbf{1}_A]=E[X\mathbf{1}_A]

\forall j:\ E[Y\mathbf{1}_{B_j}]=E[X\mathbf{1}_{B_j}]

\forall j:\ E[Y\mathbf{1}_{B_j}]=E[X\mathbf{1}_{B_j}]

\forall A\in\mathcal{G}:\ E[Y\mathbf{1}_A]=E[X\mathbf{1}_A]

逐步反向審查

• S13 · sufficient_goal_reduction · S08, S10, S11, S12 — 目標 G：求出全部版本並否定三種錯誤做法。足夠條件 H：S08 與 S10 到 S12；H⇒G 由合取。H 由 G1 到 G3 正向證成，沒有把 G 當作前提，也沒有在零質量區塊做除法。
• S12 · premise_audit · S04, S05, numeric_evaluation — 對正質量區塊 B，『對 B 上所有實值 X，加權平均都等於普通平均』當且僅當條件點權重 P({ω})/P(B) 對每個 ω∈B 均為 1/|B|：必要性取各單點指示函數，充分性直接代入。權重不等時，特定 X 仍可能使兩平均相等；本題 B₁ 的普通平均為 2，加權平均為 1。
• S11 · premise_audit · S03, S05, numeric_evaluation — 一個失敗的區塊就足以否定；這說明 S03 化約後仍需每個區塊。
• S10 · premise_audit · S02, L_meas_const — 一個區塊內的兩個不同值就足以否定可測性。
• S09 · premise_audit · S08, S03, numeric_evaluation — 數值可重算；這一步不宣稱取代 S03 對全部 8 個事件的論證。
• S08 · inverse_equivalence · S02, S03, S04, S07 — ⇒：任何版本都必須是某個 Y_c（S02、S04）。⇐：每個 Y_c 都滿足 (i)、(ii)（S02、S03、S05 到 S07）。兩個方向都有理由。
• S07 · premise_audit · S02, mul_zero, mul_inverse_nonzero — S04 的等價需要 P(B)≠0，這裡不成立，所以不能沿用 S04 的公式；只用到 u·0=0。
• S06 · premise_audit · S04, G1, numeric_evaluation — 反向核對 4·(1/2)=2=E[X𝟏_{B_2}]。
• S05 · premise_audit · S04, G1, numeric_evaluation — 可重算；反向核對 1·(1/2)=1/2=E[X𝟏_{B_1}]。
• S04 · inverse_equivalence · mul_inverse_nonzero, distributive — 乘以 1/P(B) 與乘以 P(B) 互為反運算，前提 P(B)≠0；所以在正質量區塊上 c 唯一。
• S03.2 · premise_audit · S01, finite_sum_rules, set_operations_def — 需要區塊互斥，才能把和拆開而不重複計算。
• S03.1 · premise_audit · S01, forall_elim — 只需要區塊在 G 中。
• S03 · inverse_equivalence · L_block_reduce — 兩個方向都在子步證明。
• S02.2 · premise_audit · meas_def, sigma_partition — 關鍵是區塊互斥：ω 恰屬於一個區塊，所以包含 ω 的區塊聯集必含整個 B_j。
• S02.1 · premise_audit · meas_def, sigma_partition — 只證一個方向；另一方向在 S02.2。
• S02 · inverse_equivalence · L_meas_const — 引理的兩個方向都在子步證明。
• S01 · inverse_equivalence · sigma_partition, set_operations_def — 列出的 8 個集合正是區塊的全部聯集，而 sigma_partition 說 G 恰由它們組成；兩種描述互相決定。

錯誤控制與反例

逐點條件化與零質量除法

MKO 的誤解之一是逐點條件化：答案 X 本身在 B_1 上取 4 與 0，不是 G 可測（S10）。另一個是在零質量區塊做除法：E[X𝟏_{B_3}]/P(B_3)=0/0 沒有定義；正確結論是任何常數都可以，版本只幾乎處處唯一（S07、S08）。

只核總期望不夠

MKO 的另一個誤解：只核 E[Y]=E[X] 就宣稱完整條件期望。常數 5/2 滿足總期望，卻在 B_1 上積分 5/4≠1/2（S11）。條件 (ii) 要對每個 G 事件成立，化約後仍是每個區塊（S03）。

要用質量加權

正質量區塊上的值是 E[X𝟏_B]/P(B)，一般不能直接用 X 值的普通平均取代。對該區塊上所有實值 X 都保證兩平均一致，當且僅當各條件點權重都為 1/|B|；特定 X 則可能在不等權時偶然一致。本題 B₁ 上普通平均是 2，正確值是 1（S12）。零質量區塊仍不做除法，其版本如 S07、S08 所述。

• X 的每個值都已知，所以 E[X|G]=X → reject — X 在區塊 B_1 上不是常數，不是 G 可測（S10）。
• 在 B_3 上 E[X|G]=E[X𝟏_{B_3}]/P(B_3)=0/0=0 → reject — 0/0 沒有定義；任何常數都滿足條件，值只幾乎處處決定（S07）。
• W≡5/2 滿足 E[W]=E[X]，所以 W=E[X|G] → reject — E[W𝟏_{B_1}]=5/4≠1/2（S11）。
• 在 B_1 上 E[X|G]=(4+0)/2=2 → reject — 要用質量加權：2·(1/2)=1≠1/2；正確值是 1（S05、S12）。
• 條件期望逐點唯一，所以在結果 4 的值必為 X(4)=10 → reject — Y_0（在 B_3 上取 0）也是版本；版本只幾乎處處唯一（S08）。

結論與限制

E[X|G] 的版本恰為 Y_c：在 B_1={0,1} 上為質量加權平均 (4·1/8+0·3/8)/(1/2)=1，在 B_2={2,3} 上為 (2·1/4+6·1/4)/(1/2)=4，在零質量區塊 B_3={4} 上可取任意常數 c，不做 0/0 除法；所有版本幾乎處處相等，總期望 5/2 保持不變。逐點條件化的候選 Y=X 在 G 下不可測，但其積分等式本身成立，並非在 B_1 上積分失敗。另兩種候選（只核總期望的 W≡5/2、區塊不加權平均）才在 B_1 上違反積分條件。

• 本稿只處理分割生成的 σ 代數；一般機率空間上條件期望的存在性（例如經由 Radon–Nikodym）與 filtration、martingale（MKO 的下一步）不在範圍內。

驗證及來源綁定

10 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: fb6d81a6503a7c7ed987151c144cb532f48bda0ba9ff318c35b0da5747915922
• original source SHA-256: f1f1276883bf28f45ac381b84049dc540bebe522aa5588bd14a827b966580991
• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）