排除全部非平凡開閉集

目標與範圍

判斷三點鏈狀拓撲是否連通。

完整有限枚舉；空空間採連通慣例，不使用圖連通。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}，tau={空集,{a},{a,b},X}；連通指不存在非空不交開集對覆蓋 X。

• U,V — 分離候選
• \mathcal F — 全部閉集

規則與來源

• mko_definition · cited — 完整有限拓撲上枚舉全部candidate separations/clopen subsets。disconnected需明示witness；connected需排除全部。採空空間connected的vacuous convention，singleton connected。不得混同graph connectivity。 · mko-connected-topological-space
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 閉集為開集補集；連通表示沒有兩個非空、不交、聯集為全空間的開集。

逐步主鏈

\varnothing\subset\{a\}\subset\{a,b\}\subset X

\tau\text{ is a topology}

\mathcal F=\{X\setminus U:U\in\tau\}

\mathcal F=\{X,\{b,c\},\{c\},\varnothing\}

C\in\tau\cap\mathcal F

\tau\cap\mathcal F=\{\varnothing,X\}

X=U\cup V,\ U,V\ne\varnothing,\ U\cap V=\varnothing

V=X\setminus U

U,V\in\tau,\quad V=X\setminus U

U\text{ is nontrivial clopen}

\tau\cap\mathcal F=\{\varnothing,X\}

\text{no separation exists}

\text{no separation of }X

X\text{ is connected}

|Y|\le1

Y\text{ has no two disjoint nonempty parts covering it}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1 — 邊界結論不依非空開集含 a 的特例論法。
• S07 · premise_audit · S06 — 補充交集檢查與完整開閉集表一致。
• S06 · premise_audit · S03, S05 — 沒有以未找到一個抽樣分離冒充全部排除。
• S05 · premise_audit · S04 — 這是從分離到開閉集的單向推論。
• S04 · premise_audit · G1 — 不交與覆蓋缺一不可，否則不能推出補集等式。
• S03 · inverse_equivalence · S01, S02 — 四個開集均已對照完整閉集表。
• S02 · premise_audit · S01 — 補集固定相對 X。
• S01 · premise_audit · G1 — 先驗合法拓撲才判連通。

錯誤控制與反例

排除需窮盡

完整開閉集交表涵蓋全部候選。

空間與圖分離

不以頂點或邊的視覺印象判斷拓撲連通。

• {a} 與 {b,c} 是開分離。 → reject — {b,c} 不在拓撲。
• 有三個點所以不連通。 → reject — 連通由拓撲決定，已排除全部分離。
• 圖沒有畫邊，所以此空間不連通。 → reject — 未指定圖，不能替換拓撲定義。

結論與限制

本例連通；只有空集與 X 同時開閉。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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