三點分布的完整CDF

目標與範圍

算出全實軸CDF、右連續值與跳躍。

完整有限離散分布；不把CDF當density。

已知條件與符號

• work

• G1 — X的support為{-1,1,3}，對應質量1/4、1/2、1/4。

• F — 累積分布函數
• t — 實數門檻

規則與來源

• mko_definition · cited — 完整有限實值分布下精確聚合所有x<=t的質量。CDF不是PMF或density；在support點的右值包含該點，jump為P(X=t)，端點極限為0與1。 · mko-cumulative-distribution-function
• work · prerequisite — 有限law的事件機率為所含質量和；CDF定義F(t)=P(X≤t)，jump為F(t)-F(t-)。

逐步主鏈

p=(-1:1/4,1:1/2,3:1/4)

1/4+1/2+1/4=1

F(t)=P(X\le t),\ t<-1

F(t)=0

-1\le t<1

\{X\le t\}=\{X=-1\},\ F(t)=1/4

1\le t<3

F(t)=1/4+1/2=3/4

t\ge3

F(t)=1

F(-1)-F(-1^-),F(1)-F(1^-),F(3)-F(3^-)

(1/4,1/2,1/4)

0\le1/4\le3/4\le1

F\text{ is nondecreasing and right-continuous}

t<-1\text{ or }t\ge3

\lim_{t\to-\infty}F(t)=0,\quad\lim_{t\to\infty}F(t)=1

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 全實軸四段已覆蓋，非只測三個t值。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 跳躍允許不連續；右連續不等於雙側連續。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 左極限依前一段，不能以右值相減。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — t=3必須在此段而不是前段。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — CDF為3/4，不是單點P(X=1)=1/2。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 不能在t=-1用左極限0代替函數值。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — t=-1不屬此區間，因定義包含等號。
• S01 · premise_audit · G1, work — support互異，沒有重複質量須合併。

錯誤控制與反例

端點

四段使用左閉右開，最右段含3。

CDF與PMF

用相鄰累積值之差還原點質量。

• F(1)=1/2。 → reject — 還須包含-1的1/4質量，故為3/4。
• F(-1)=0。 → reject — 事件使用≤，因此包含-1。
• 此CDF在1連續。 → reject — 左右差1/2，只有右連續。

結論與限制

CDF四段依序為0、1/4、3/4、1，三個jump正好是原質量。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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