量綱分析：以指數向量核對 ½mv²=mgh 並排除 v=2gh

目標與範圍

以基本量綱 L、M、T 的整數指數向量 d(Q)=(a,b,c)：算出速度、加速度與兩種能量式的量綱；判定 ½mv²=mgh 量綱一致、v=2gh 不一致且無法以純數常數修正、v²=4gh 量綱一致卻在等加速度模型中錯誤；判定 m+v 不能相加；由 E=C·m^α v^β 解出 α=1、β=2；並說明量綱相同不代表單位換算因子相同。

只用 L、M、T 三個基本量綱與整數指數（MKO 假設 a1）；½、2、4 明示為無因次常數，g 是具量綱的量（假設 a2）。S11 用到的等加速度運動模型明列於 G3，不由量綱分析推出。不處理 SI 換算細節、Buckingham Pi 或無因次化；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• cartesian_product_def
• numeric_evaluation
• eq_congruence
• power_laws
• distributive

• G1 — 基本量綱 L、M、T；量 Q 的量綱 [Q]=L^a M^b T^c 以整數向量 d(Q)=(a,b,c) 表示（MKO 假設 a1）。
• G2 — d(m)=(0,1,0)，d(h)=(1,0,0)，d(t)=(0,0,1)；速度 v 是長度除以時間，加速度 g 是速度除以時間；½、2、4 與 C 是無因次純數（假設 a2）。
• G3 — 等加速度模型：自靜止以加速度 g>0 運動時間 t>0 後，速度 v=gt，移動距離 h=gt²/2。
• G4 — 待檢查的式子：(E1) ½mv²=mgh；(E2) v=2gh；(E3) v²=4gh；(E4) 和 m+v。

• d(Q)=(a,b,c) — 量 Q 的量綱指數向量，[Q]=L^a M^b T^c
• m,\ h,\ t — 質量、高度、時間
• v,\ g — 速度、加速度
• E — 能量（動能）
• C,\ \alpha,\ \beta — 無因次常數與待求指數

規則與來源

• cartesian_product_def · prerequisite — 笛卡兒積：A×B 是所有有序對 (a,b)（a∈A、b∈B）的集合；(a,b)=(c,d) ⇔ a=c 且 b=d。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• eq_congruence · prerequisite — 等式同用：若 u=v，對兩邊做同一個有定義的運算 f，得 f(u)=f(v)。只對一邊做運算不屬於此規則。
• power_laws · prerequisite — 整數指數律（底數非零或指數為正整數）：a^m·a^n=a^{m+n}，(a^m)^n=a^{mn}，(ab)^n=a^n b^n，a^0=1。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• def_intro · prerequisite — 引入定義：可為一個命題、式子或物件取名；之後名稱與被定義者可互相替換。
• add_zero · prerequisite — 加法單位元：u+0=u。
• contradiction · prerequisite — 反證法：若假設 ¬P 推出矛盾（某命題與其否定同時成立），則 P 成立。
• mul_assoc · prerequisite — 乘法結合律：(uv)w=u(vw)。
• mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。
• square_nonneg · prerequisite — 實數平方非負：對所有實數 u，u²≥0，且 u²=0 ⇔ u=0。
• order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• mko_dim · cited — 相對基本量綱 L、M、T，把物理量 Q 的量綱記為 [Q]=L^a M^b T^c，亦即指數向量 (a,b,c)。乘法相加向量、除法相減、整數冪倍乘；可相等或相加的量必須量綱一致。 · mko-dimensional-analysis
• mko_dim_limits · cited — 量綱一致是候選物理方程的必要條件，不是充分條件；方程若兩側量綱不同，不能由調整純數常數修正；若一致，仍可能有錯係數。量綱分析不追蹤單位換算的數值因子。 · mko-dimensional-analysis
• vec_ops · prerequisite — ℤ³ 的逐分量運算：(a,b,c)±(a′,b′,c′)=(a±a′,b±b′,c±c′)，k(a,b,c)=(ka,kb,kc)；兩向量相等當且僅當三個分量分別相等；純數的量綱向量是 (0,0,0)。
• L_const_factor · lemma — 對無因次常數 k 與任意量 Q，d(kQ)=d(Q)。

逐步主鏈

[Q]=L^aM^bT^c

d(PQ)=d(P)+d(Q),\ d(P/Q)=d(P)-d(Q),\ d(Q^k)=k\,d(Q)

m,\ h,\ t

d(m)=(0,1,0),\ d(h)=(1,0,0),\ d(t)=(0,0,1)

d(v)=d(h)-d(t)

d(v)=(1,0,-1)

d(g)=d(v)-d(t)

d(g)=(1,0,-2)

d(v^2)=2\,d(v)

d(v^2)=(2,0,-2)

d(\tfrac{1}{2}mv^2)=d(\tfrac{1}{2})+d(m)+d(v^2)

d(\tfrac{1}{2}mv^2)=(2,1,-2)

d(mgh)=d(m)+d(g)+d(h)

d(mgh)=(2,1,-2)

d(\tfrac{1}{2}mv^2)=(2,1,-2),\ d(mgh)=(2,1,-2)

\text{(E1) dimensionally consistent}

d(v)=(1,0,-1),\ d(2gh)=(2,0,-2)

\text{(E2) inconsistent};\ d(kgh)=(2,0,-2)\ \forall k\ \text{dimensionless}

d(v^2)=(2,0,-2),\ d(4gh)

d(4gh)=(2,0,-2):\ \text{(E3) dimensionally consistent}

v=gt,\ h=\tfrac{1}{2}gt^2

v^2=2gh,\ \text{so }v^2=4gh\ \text{fails for }g,t>0

m+v,\ d(m)=(0,1,0),\ d(v)=(1,0,-1)

d(m)\neq d(v):\ m+v\ \text{not allowed}

(2,1,-2)=\alpha(0,1,0)+\beta(1,0,-1)

\alpha=1,\ \beta=2,\ E=C\,m\,v^2

\mathrm{J}=\mathrm{kg\,m^2\,s^{-2}},\ \mathrm{erg}=\mathrm{g\,cm^2\,s^{-2}}

d=(2,1,-2)\ \text{for both},\ 1\,\mathrm{J}=10^7\,\mathrm{erg}

\text{proved facts}

\text{(E1) consistent; (E2) inconsistent; (E3) consistent but false in G3; (E4) not allowed; }E=Cmv^2

局部子步與引理

d(kQ)

d(kQ)=d(k)+d(Q)=(0,0,0)+d(Q)=d(Q)

v^2=(gt)^2,\ 2gh=2g\cdot\tfrac{1}{2}gt^2

v^2=g^2t^2=2gh

v^2=4gh\ \text{(assumed)}

v^2=2v^2\Rightarrow v^2=0\Rightarrow v=0,\ \text{contradicting }v=gt>0

逐步反向審查

• S15 · sufficient_goal_reduction · S08, S09, S10, S11, S12, S13, and_intro_elim — 目標 G：本稿目標的各項判定。足夠條件 H：S08 到 S13 各自已證（H⇒G 由合取引入）。H 由給定條件正向推出，沒有把 G 當作前提。
• S14 · premise_audit · mko_dim_limits, power_laws, numeric_evaluation — 需要兩組單位的定義與 10 的冪次計算；結論只是說明，與前面的量綱判定互不依賴。
• S13 · inverse_equivalence · vec_ops, cartesian_product_def — 向量相等 ⇔ 三個分量相等；代回 α=1、β=2 得 (2,1,−2)，雙向成立。
• S12 · premise_audit · S02, S03, mko_dim, vec_ops — 只需要兩個向量不同。
• S11.2 · premise_audit · S11.1, square_nonneg, order_basics, contradiction — 需要 g、t>0；若 t=0（尚未運動），v=h=0，兩式都成立，這不能拿來支持 (E3)。
• S11.1 · inverse_equivalence · power_laws, mul_assoc, mul_comm — 指數律與乘法交換結合律，雙向是同一個式子。
• S11 · premise_audit · G3, mko_dim_limits — 需要明示的物理模型與 g、t>0；量綱分析本身無法提供這個判斷。
• S10 · premise_audit · L_const_factor, vec_ops, mko_dim — 同 S08，只是通過必要條件；S11 會顯示它仍然錯誤。
• S09.1 · inverse_equivalence · vec_ops, add_zero — 加零向量的恆等式，雙向成立；只對無因次 k 成立，具量綱常數會改變向量。
• S09 · premise_audit · L_const_factor, vec_ops, mko_dim_limits — 向量不等只需一個分量不同。結論是 (E2) 必錯；這裡不宣稱正確的關係是什麼，那需要物理模型（S11）。
• S08 · premise_audit · S06, S07, mko_dim_limits — 結論只是「通過必要條件」，反向（一致 ⇒ 正確）不宣稱。
• S07 · inverse_equivalence · vec_ops, numeric_evaluation — 逐分量整數加法，雙向成立。
• S06 · inverse_equivalence · vec_ops, numeric_evaluation — 逐分量整數加法，雙向是同一向量。
• S05 · inverse_equivalence · vec_ops — 乘 2 與除以 2 在這些偶數分量上互逆，雙向成立。
• S04 · inverse_equivalence · vec_ops, numeric_evaluation — 逐分量整數計算，雙向成立。
• S03 · inverse_equivalence · vec_ops, numeric_evaluation — 逐分量整數計算；反向 (1,0,−1)+(0,0,1)=(1,0,0) 還原。
• S02 · premise_audit · G2, def_intro — 直接取自給定條件，不推出新事實。
• S01 · premise_audit · G1, mko_dim, power_laws — 此步只寫出規則，不推出新事實；指數限於整數。

錯誤控制與反例

量綱一致不等於方程正確

MKO 指出的誤解之一：v²=4gh 兩邊都是 (2,0,−2)，但在等加速度模型中正確的是 v²=2gh（S11）。量綱分析查不出錯的無因次係數、錯的方向或錯的物理假設；它只能排除不一致的式子。

單位名稱不等於量綱指數

MKO 指出的另一個誤解：焦耳與爾格的量綱向量相同，數值卻差 10⁷ 倍（S14）。另外要注意記號：公式中的 m 是質量（量綱 M），單位「m」是公尺（量綱 L），兩者不可混淆。

純數常數修不好不一致，具量綱常數要明示

依 L_const_factor，乘上任何無因次 k 都不改變量綱，所以 v=k·gh 對每個 k 都不一致（S09）。反之，g 是具量綱的量 (1,0,−2)，若把它誤當純數，(E1) 的核對就會出錯；MKO 假設 a2 要求常數的量綱由題目明示。

• v²=4gh 量綱一致，所以它是正確的自由落體關係 → reject — 等加速度模型給出 v²=2gh；若 v²=4gh 也成立則 v=0，與 v=gt>0 矛盾（S11.2）。
• 只要選對無因次常數 k，v=k·gh 就會量綱一致 → reject — d(k·gh)=(2,0,−2)≠(1,0,−1)=d(v)，與 k 無關（S09、L_const_factor）。
• m+v 是有意義的量，量綱是 (0,1,0)+(1,0,−1)=(1,1,−1) → reject — 只有量綱相同的量才能相加；向量相加對應的是乘積 mv，不是和（S12）。
• 焦耳與爾格量綱相同，所以 1 J=1 erg → reject — 1 J=10⁷ erg；量綱分析不追蹤換算因子（S14）。

結論與限制

d(v)=(1,0,−1)，d(g)=(1,0,−2)，d(½mv²)=d(mgh)=(2,1,−2)，所以 ½mv²=mgh 量綱一致。v=2gh 兩邊為 (1,0,−1) 與 (2,0,−2)，不一致，且任何無因次常數都無法修正。v²=4gh 量綱一致，但在等加速度模型中 v²=2gh，所以它錯誤：量綱一致只是必要條件。m+v 量綱不同，不能相加。由 (2,1,−2)=α(0,1,0)+β(1,0,−1) 得 α=1、β=2，E=C m v²，C 不由量綱決定。焦耳與爾格量綱相同但 1 J=10⁷ erg。

• S11 的等加速度模型（v=gt、h=gt²/2）作為給定條件使用，本稿沒有從力學原理推導它。
• SI 換算、Buckingham Pi 定理與無因次化屬於 MKO 的 formal next。

驗證及來源綁定

8 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: d37c1bae6edd943432231306417829058ff4d2192474aeccdb559f8b130beb94
• original source SHA-256: d37c1bae6edd943432231306417829058ff4d2192474aeccdb559f8b130beb94
• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）