R³中唯一分解與覆蓋

目標與範圍

R³=span{e₁}⊕span{e₂,e₃}，唯一性與覆蓋分別成立。

有限維二項內直和，另列多項及外載體界線。

已知條件與符號

• calc

• G1 — V=R³；e₁=(1,0,0),e₂=(0,1,0),e₃=(0,0,1)；U=span{e₁}，W=span{e₂,e₃}。

• U,W — 內部子空間
• \Phi — 外和到內和的加法映射

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設通常實數域與座標向量運算、矩陣乘法、線性獨立及生成的定義；所用消去均為可逆初等列運算。
• mko_definition · cited — 在有限維實向量空間以完整基底與exact rank核對二項內直和。U交W為零只保證U+W內的唯一性；V=U直和W還需U+W=V。三項以上不得以兩兩交集為零代替整體唯一性，外直和則使用乘積型新載體。 · mko-direct-sum

逐步主鏈

U=\operatorname{span}\{e_1\},\quad W=\operatorname{span}\{e_2,e_3\}

U=\{(a,0,0):a\in\mathbb R\},\quad W=\{(0,b,c):b,c\in\mathbb R\}

v\in U\cap W

v=(a,0,0)=(0,b,c)\Rightarrow a=b=c=0

(x,y,z)\in V

(x,y,z)=(x,0,0)+(0,y,z)\in U+W

u+w=u'+w',\quad u,u'\in U,\quad w,w'\in W

u-u'=w'-w\in U\cap W=\{0\}

u-u'=0,\quad w'-w=0

u=u',\quad w=w';\qquad V=U\oplus W

[e_1\ e_2\ e_3]=I_3

\operatorname{rank}[e_1\ e_2\ e_3]=3,\quad1+2=3

L_1=\mathbb R(1,0),\ L_2=\mathbb R(0,1),\ L_3=\mathbb R(1,1)

L_i\cap L_j=\{0\}\ (i\ne j),\quad(1,0)+(0,1)-(1,1)=0

U\times W=\{(u,w):u\in U,w\in W\}

\Phi:U\times W\to V,\quad\Phi(u,w)=u+w\text{ bijective}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03, S04, S05 — 雙射不使有序對字面等於母空間向量。
• S07 · premise_audit · G1 — 三個非零summands合為零，直接否證唯一性。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S05 — 此rank綁定同一U、W，不是任意維度相加。
• S05 · premise_audit · G1, S03, S04 — 只由交集零只能保證U+W中的唯一性，不能省S03。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S02 — 子空間對差封閉才保證左右屬各自子空間。
• S03 · premise_audit · G1, S01 — 零交集與覆蓋是分開責任，此步才證後者。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 零確在兩者中，所以交集不是空集。
• S01 · premise_audit · G1 — W不可漏e₃，否則覆蓋將失敗。

錯誤控制與反例

覆蓋另核

零交集給唯一性，U+W=V給覆蓋，兩者均要。

多項獨立

多項直和核全部基底聯集整體獨立。

• R³兩座標軸零交集就覆蓋R³。 → reject — span{e₁}+span{e₂}漏e₃。
• 三項兩兩零交集即直和。 → reject — 上述Lᵢ有非平凡三項關係。
• 外和元素就是u+w。 → reject — 外載體是(u,w)，Φ才送至u+w。

結論與限制

R³=span{e₁}⊕span{e₂,e₃}，唯一性與覆蓋分別成立。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: e587d57a8edbf7ea1be841fcab7e765b95d2765b0c3bcff302efa7213d0cb9b6
• original source SHA-256: e587d57a8edbf7ea1be841fcab7e765b95d2765b0c3bcff302efa7213d0cb9b6
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）