完整參數集合上的偏誤表

目標與範圍

逐theta求EthetaU-theta，區分觀察誤差。

目標g(theta)=theta；不談漸近性質。

已知條件與符號

• work

• G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。
• G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。

• θ — 固定但未知參數
• U — 同一total statistic

規則與來源

• mko_definition · cited — 在共同有限樣本空間與同一theta-independent total estimator上，逐theta由sampling distribution計算E_theta[T]並減theta。單一參數、sample或observed estimate不足以證unbiased；無偏也不推出零變異、一致、充分或最小MSE。 · mko-estimator-bias
• work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。 偏誤定義b(theta)=Etheta[U]-theta；無偏要求所有theta的bias零。

逐步主鏈

U^{-1}(0),U^{-1}(1/4),U^{-1}(1/2)

\{00\},\{01,10\},\{11\}

P_{1/4}^U=(9/16,6/16,1/16)

E_{1/4}U=(1/4)(6/16)+(1/2)(1/16)=1/8

b(1/4)=E_{1/4}U-1/4

b(1/4)=1/8-1/4=-1/8

P_{3/4}^U=(1/16,6/16,9/16)

E_{3/4}U=(1/4)(6/16)+(1/2)(9/16)=3/8

b(3/4)=E_{3/4}U-3/4

b(3/4)=3/8-3/4=-3/8

\text{unbiased}\iff\forall\theta\in\Theta:\ b(\theta)=0

U\text{ is biased on this model}

\theta=1/4,\quad x=01

U(01)-\theta=1/4-1/4=0\ne b(1/4)

b=( -1/8,-3/8)

b(\theta)=-\theta/2\quad(\theta\in\Theta)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 一致性與最小MSE仍未被此bias表證明。
• S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 觀察誤差沒有對sample law取期望。
• S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 無偏是全參數條件，不是選一個theta合適即可。
• S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 兩個theta已窮盡參數集合。
• S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 最後質量9/16不可沿用1/16。
• S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — 偏誤有號，不能先取絕對值。
• S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 零值項雖不影響mean，仍在law中。
• S01 · premise_audit · G1, G2, work — bias計算不能讓U依theta變動。

錯誤控制與反例

target

固定減theta，不減觀察值或其他law mean。

全參數

兩個theta分開保留有號bias。

• 觀察01命中theta=1/4，故無偏。 → reject — 此law的期望1/8，bias=-1/8。
• bias必非負。 → reject — 本例兩個bias都負。
• 只核一個theta就證全模型無偏。 → reject — 全稱條件涵蓋所有theta；此例另一值也須計。

結論與限制

bias表為-1/8、-3/8，因此U非無偏；一次estimate命中不改此結論。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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