不用分解公式的直接MSE計算

目標與範圍

逐theta直接加權loss，保留bias-variance為後續。

完整有限scalar模型，不從單次loss估MSE。

已知條件與符號

• work

• G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。
• G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。

• θ — 固定但未知參數
• U — 同一total statistic

規則與來源

• mko_definition · cited — 每個theta都必須有完整、正規化的finite sampling law，直接計算sum_t P_theta(T=t)(t-theta)^2；不可只由bias與variance間接取得，因bias–variance decomposition是下一節點。多theta table逐law分開。MSE=0恰當T=theta在P_theta下almost surely。單一observed estimate或sample squared error不是MSE；unbiased不推出zero MSE，MSE也不等同variance或推出consistency。本輪限scalar parameter與exact rational laws。 · mko-estimator-mean-squared-error
• work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。 MSEtheta(U)=sum_u Ptheta(U=u)(u-theta)²；非負有限和為零恰所有正權項零。

逐步主鏈

U\in\{0,1/4,1/2\}

P_{1/4}^U=(9,6,1)/16,\quad P_{3/4}^U=(1,6,9)/16

\theta=1/4,\quad(U-\theta)^2

(1/16,0,1/16)

\operatorname{MSE}_{1/4}(U)=\sum_uP_{1/4}(U=u)(u-1/4)^2

(9/16)(1/16)+(6/16)0+(1/16)(1/16)=5/128

\theta=3/4,\quad(U-\theta)^2

(9/16,1/4,1/16)

\operatorname{MSE}_{3/4}(U)

(1/16)(9/16)+(6/16)(1/4)+(9/16)(1/16)=21/128

\theta=1/4,\quad x=01

(U(01)-\theta)^2=0\ne5/128

\operatorname{MSE}_\theta(U)=0

(u-\theta)^2=0\text{ at every positive-mass }u

(u-\theta)^2=0\iff u=\theta

\operatorname{MSE}_\theta(U)=0\iff U=\theta\quad P_\theta\text{-a.s.}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 本例兩MSE皆正，亦不推一致性。
• S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 已列出但機率權重為 0 的樣本點，即使有有限且非零的 loss，對 MSE 加權和的貢獻仍為 0。
• S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 不是只用物件名稱差異否證數值相等。
• S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 沒有把兩theta的MSE平均當pointwise MSE。
• S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 1/4與3/4的差平方為1/4。
• S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — 中間loss雖零，其質量仍完整保留。
• S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 目標theta不是mean1/8。
• S01 · premise_audit · G1, G2, work — 後續loss與權重必須來自同theta。

錯誤控制與反例

直接路徑

三個loss逐項列出，不偷用後續decomposition。

參數對齊

theta=3/4使用(9/16,1/4,1/16)loss配第二law。

• 01的loss零，故MSE零。 → reject — 第一law完整MSE為5/128。
• MSE以E[U]而非theta為target。 → reject — 那會是variance；此處目標明列theta。
• MSE零必須所有零質量原子也命中。 → reject — 非負和只約束正權項，因此是a.s.等式。

結論與限制

直接計得MSE_(1/4)=5/128、MSE_(3/4)=21/128，沒有使用分解公式。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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