同law二次矩與中心矩交叉核對

目標與範圍

對全部theta算variance並核對中心定義。

variance只量隨機散布，不代表估計正確。

已知條件與符號

• work

• G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。
• G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。

• θ — 固定但未知參數
• U — 同一total statistic

規則與來源

• mko_definition · cited — sampling law、support與mean全部綁同一theta，精確核Var_theta(T)=E_theta[(T-E_thetaT)^2]=E_theta[T^2]-(E_thetaT)^2。零變異只代表該theta下幾乎必然常數，不代表等於theta或無偏。 · mko-estimator-variance
• work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。 Var(U)=E[(U-EU)^2]=E[U²]-(EU)²。

逐步主鏈

P_{1/4}^U=(9,6,1)/16,\quad P_{3/4}^U=(1,6,9)/16

E_{1/4}U=1/8,\quad E_{3/4}U=3/8

E_{1/4}U^2=(1/16)(6/16)+(1/4)(1/16)

E_{1/4}U^2=5/128

\operatorname{Var}_{1/4}U=E_{1/4}U^2-(E_{1/4}U)^2

5/128-(1/8)^2=3/128

E_{1/4}(U-1/8)^2

(9/16)(1/8)^2+(6/16)(1/8)^2+(1/16)(3/8)^2=3/128

E_{3/4}U^2=(1/16)(6/16)+(1/4)(9/16)

E_{3/4}U^2=21/128

\operatorname{Var}_{3/4}U=21/128-(3/8)^2

\operatorname{Var}_{3/4}U=3/128

E_{3/4}(U-3/8)^2

(1/16)(3/8)^2+(6/16)(1/8)^2+(9/16)(1/8)^2=3/128

V(x)\equiv0,\quad\theta\in\{1/4,3/4\}

\operatorname{Var}_\theta(V)=0,\quad E_\theta[V]\ne\theta

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 零variance只保證該law下a.s.常數。
• S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 每項均非負，所以負variance必是計算錯誤。
• S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 相同variance不代表相同sampling law。
• S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 不混入第一law權重。
• S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 零support值的中心偏差不是零。
• S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — 不可扣(3/8)平方。
• S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 中間值1/4平方為1/16。
• S01 · premise_audit · G1, G2, work — 同一U可有不同中心。

錯誤控制與反例

同law中心

theta=1/4配1/8，theta=3/4配3/8。

雙公式

中心平方和與二次矩扣mean平方獨立比對3/128。

• 第一variance可用第二mean3/8中心化。 → reject — 第一law mean為1/8，必須同law。
• 零variance一定無偏。 → reject — V≡0有零variance但對theta>0有偏。
• 兩variance相同則兩laws相同。 → reject — U=0質量9/16與1/16不同。

結論與限制

兩個theta的variance皆3/128，已由中心矩與二次矩各自核對。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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