兩條獨立路徑核Euler判準

目標與範圍

p=7,a=−4時Legendre值−1且a³≡6≡−1 mod7；2則給+1。

完整square-table與獨立repeated-squaring路徑，只認證p=7實例。

已知條件與符號

• calc

• G1 — p=7，a=−4；先規範a≡3 mod7，再獨立計Legendre值與a^{(p−1)/2}。

• Q_7 — 完整nonzero squares
• (a/7) — signed Legendre值

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。假設平方根trial division的prime判準；Legendre三值依zero及完整nonzero square table定義。
• mko_definition · cited — domain先要求odd prime p及a mod p非零。Legendre值必須由完整nonzero square table獨立重算；modular exponent以repeated squaring獨立計算，再把p-1解讀為-1。residue case輸出+1，nonresidue輸出-1。完整有限square table只核指定p與a，不能取代全體奇質數上的一般定理證明。p=2、composite modulus與a≡0 mod p不屬本定理domain；不得反過來用Euler criterion定義Legendre symbol，composite modulus也無此一般converse。 · mko-euler-criterion-quadratic-residue

逐步主鏈

p=7,\quad a=-4

7\text{ odd prime},\quad a\equiv3\ne0\pmod7,\quad(p-1)/2=3

x=1,2,3,4,5,6

\begin{array}{c|rrrrrr}x&1&2&3&4&5&6\\\hline x^2\bmod7&1&4&2&2&4&1\end{array}

\begin{array}{c|rrrrrr}x&1&2&3&4&5&6\\\hline x^2\bmod7&1&4&2&2&4&1\end{array}

Q_7=\{1,2,4\},\quad(3/7)=-1,\quad(2/7)=1

a\equiv3\pmod7

3^2=9\equiv2\pmod7

3^2\equiv2\pmod7

3^3\equiv2\cdot3=6\equiv-1\pmod7

(a/7)=-1,\quad a^3\equiv6\pmod7

a^{(7-1)/2}\equiv(a/7)\pmod7

b=2,\quad(2/7)=1

2^2\equiv4,\quad2^3\equiv4\cdot2\equiv1\pmod7

a=1,2,3,4,5,6

a^3\bmod7=1,1,6,1,6,6;\quad(a/7)=1,1,-1,1,-1,-1

a\equiv0\pmod7\text{ or }p=2\text{ or }p\text{ composite}

\text{outside this criterion's qualified domain}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S09 · premise_audit · G1, S01, S06, S08 — 未擴張成Jacobi、quadratic reciprocity或合數平方根算法。
• S08 · premise_audit · G1, S02, S03, S04, S05, S07 — 完整表仍只涵蓋p=7，不證所有奇prime的抽象定理。
• S07 · premise_audit · G1, S03 — root witness3²≡2來自S02，非從本冪結果推出。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S03, S05 — 必保留模7：整數6不等於−1，只有同餘。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — 不能把餘數6當Legendre的第4種值；符號值仍是−1。
• S04 · premise_audit · G1, S01 — 此計算未讀Q₇分類，與平方根表的用途不同。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 沒有從a³結果反過來定義符號。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 這條路徑提供獨立Legendre分類基礎。
• S01 · premise_audit · G1 — zero類不在本定理domain，不可只看prime條件。

錯誤控制與反例

兩路徑

先從完整squares定Legendre，另以平方乘法計half-power。

符號與residue

mod7的6對signed−1，不是整數相等。

• 模7的zero類應輸出+1。 → reject — 0³=0且本判準要求非零。
• Legendre值就是整數6。 → reject — 6是−1的mod7代表，符號值是−1。
• 這個有限表證所有odd primes。 → reject — 表格只含p=7，各prime尚有獨立全稱責任。

結論與限制

p=7,a=−4時Legendre值−1且a³≡6≡−1 mod7；2則給+1。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• adopted source SHA-256: bfc2a00296ec4845bb2bac52d8d35b1658baa23430ee96f708f9268d434e17b8
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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