模10的完整unit排列

目標與範圍

對a=−3,n=10，φ(10)=4且a⁴≡1 mod10。

指定unit base的完整reduced代表系證書與獨立powmod；不作primality test。

已知條件與符號

• calc

• G1 — n=10，a=−3；代表1至10，全部gcd精確。

• U_{10} — 完整unit代表系
• P — unit乘積

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
• mko_definition · cited — exact列舉reduced residue system並核乘a造成permutation，或用safe modular exponentiation核a^phi(n) mod n=1。負a先正規化。nonunit不適用，單次congruence沒有primality converse；Fermat小定理是prime modulus特例。 · mko-euler-theorem-number-theory

逐步主鏈

n=10,\quad a=-3

n\ge2,\quad a\equiv7\pmod{10},\quad\gcd(7,10)=1

k=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

\gcd(k,10)=1,2,1,2,5,2,1,2,1,10

U_{10}=\{1,3,7,9\}

\varphi(10)=4,\quad7U_{10}\pmod{10}=(7,1,9,3)

P=1\cdot3\cdot7\cdot9=189

7^4P\equiv P\pmod{10},\quad P\equiv9,\quad9^{-1}\equiv9\pmod{10}

7^4\cdot9\equiv9\pmod{10}

7^4\equiv1\pmod{10}\Rightarrow(-3)^4\equiv1\pmod{10}

7^2=49

7^2\equiv9,\quad7^4\equiv9^2\equiv1\pmod{10}

a=2,\quad\gcd(2,10)=2

2^{\varphi(10)}=16\equiv6\not\equiv1\pmod{10}

10=2\cdot5\text{ composite},\quad(-3)^4\equiv1\pmod{10}

\text{Euler congruence holds for this composite modulus}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03, S05, S06, S07 — Fermat是prime模數時φ(p)=p−1的特例，不是反向判質數。
• S07 · premise_audit · G1, S03 — 此例不反駁Euler，因unit門檻未過。
• S06 · premise_audit · G1, S03, S05 — φ值由完整S02取得，不用指數測試反推φ。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 得到mod10同餘，不是整數81=1。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 乘積可逆才可消去，不能把非units一併乘入。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 這裡核對的排列是同一個 unit 載體上的排列；本證書沒有枚舉全部十個 residues 的排列。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 只將gcd=1者選為units。
• S01 · premise_audit · G1 — gcd(7,10)=1由10=7+3、7=2·3+1確證。

錯誤控制與反例

unit前提

必先gcd(a,n)=1，再做排列或消去。

範圍

這裡n≥2，n=1慣例不延伸到此定理。

• 對任何a都可套Euler。 → reject — 2模10非unit且2⁴≡6。
• a⁴≡1證10質數。 → reject — 10=2·5。
• φ(10)=10。 → reject — 完整units只有1、3、7、9。

結論與限制

對a=−3,n=10，φ(10)=4且a⁴≡1 mod10。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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