逐代表計算φ(12)

目標與範圍

φ(12)=4，φ(1)=1，且本例φ(3·4)=φ(3)φ(4)。

固定1≤k≤n的完整有限代表系；乘法性只核互質實例。

已知條件與符號

• calc

• G1 — n=12，以gcd(k,12)=1計數，代表恰為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。

• \varphi(n) — 互質代表數
• U_n — 完整reduced代表系

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
• mko_definition · cited — 本輪一致使用1≤k≤n的完整代表範圍，以gcd(k,n)=1計數。乘法性只核gcd(m,n)=1的明示實例，不由非互質實例外推。 · mko-euler-totient-function

逐步主鏈

1\le k\le12

K=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}

k=1,2,3,4,5,6

\gcd(k,12)=1,2,3,4,1,6\text{ respectively}

k=7,8,9,10,11,12

\gcd(k,12)=1,4,3,2,1,12\text{ respectively}

U_{12}=\{1,5,7,11\}

\varphi(12)=|U_{12}|=4

n=1,\quad K_1=\{1\}

\gcd(1,1)=1\Rightarrow\varphi(1)=1

K_3=\{1,2,3\},\quad K_4=\{1,2,3,4\}

U_3=\{1,2\},\quad U_4=\{1,3\},\quad\varphi(3)=2,\ \varphi(4)=2

\gcd(3,4)=1,\quad12=3\cdot4

\varphi(12)=4=2\cdot2=\varphi(3)\varphi(4)

U_2=\{1\},\quad U_8=\{1,3,5,7\}

\varphi(2)\varphi(4)=1\cdot2=2\ne4=\varphi(8)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S06, S07 — 此反例否證省略互質假設，不否證S07。
• S07 · premise_audit · G1, S04, S06 — 只是指定互質實例，不由此推一般乘法性定理。
• S06 · premise_audit · G1 — 兩個小代表系皆含自己的終點，但終點不互質。
• S05 · premise_audit · G1 — 不能套n≥2時n不互質的觀察到n=1。
• S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — 未計互質數對或proper divisors；φ只數此代表集合。
• S03 · premise_audit · G1, S01 — 12在代表系中但gcd(12,12)=12，不能誤算為unit。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 例如gcd(5,12)=1因12=2·5+2且5=2·2+1。
• S01 · premise_audit · G1 — 本輪採1到n，不得另加0再計一次同類。

錯誤控制與反例

代表系

全稿使用1至n，不混用0至n−1。

互質門檻

乘法性題先核gcd(m,n)=1。

• φ(12)=5因0也互質。 → reject — 0不在1到12，且gcd(0,12)=12。
• φ(1)=0。 → reject — 唯一代表1與1互質。
• 任意m,n均有φ(mn)=φ(m)φ(n)。 → reject — m=2,n=4給4≠2。

結論與限制

φ(12)=4，φ(1)=1，且本例φ(3·4)=φ(3)φ(4)。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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