含孤立頂點的Euler circuit

目標與範圍

完整核每條邊恰一次與非孤立支撐條件。

有限簡單無向；零邊採length-zero circuit。

已知條件與符號

• work

• G1 — V={0,1,2,3}，E={01,12,02}，3孤立；walk W=(0,1,2,0)。

• V,E — 完整頂點與邊集合
• W — 頂點walk序列

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 有限簡單無向圖中 trail 可重複頂點但不可重複邊。存在判準中的連通性責任只要求所有非孤立頂點位於同一分量；孤立點不破壞 edge support。非空頂點零邊圖採長度零 circuit，空頂點圖不在本輪範圍。 · mko-eulerian-trail
• work · prerequisite — 有限無向簡單圖的邊為無loop、無重複unordered pairs；圖性質須對完整明示V、E逐一檢查。 walk每步沿原邊，trail不重複邊；Euler trail使用全部邊恰一次；circuit為起終點相同的trail；degree計incident邊數。

逐步主鏈

E=\{01,12,02\}

\deg=(2,2,2,0)

\{v:\deg(v)>0\}=\{0,1,2\}

0-1-2-0\text{ connects the entire edge support}

W_0,W_1=(0,1)

\{0,1\}=01\in E

W_1,W_2=(1,2)

\{1,2\}=12\in E

W_2,W_3=(2,0)

\{2,0\}=02\in E

\text{edge sequence }(01,12,02)

\text{distinct edges and edge set exactly }E

W_0=W_3=0

W\text{ is an Euler circuit}

E=\varnothing,\quad V\ne\varnothing

W=(v)\text{ is a length-zero Euler circuit for }v\in V

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 單點walk無邊可重複且覆蓋全部空E。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — Euler使用全部邊，不等同Hamilton訪每點一次。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 頂點0重訪合法，trail禁止的是重邊。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 02與20是同一unordered edge。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 不是重新使用01。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — walk相鄰點必有邊。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — 不要求3出現在用邊circuit。
• S01 · premise_audit · G1, work — 無向每邊對degree總和貢獻二。

錯誤控制與反例

unordered edges

把2→0正規化為02再比較。

支撐

連通條件作用於degree>0的頂點。

• 孤立3使Euler circuit不可能。 → reject — 明示W已使用全部邊。
• trail不可重訪0。 → reject — trail禁止重邊而非重頂點。
• (0,1,0,2)是此圖Euler trail。 → reject — 01被使用兩次且12未用。

結論與限制

W=(0,1,2,0)完整使用三邊一次，是Euler circuit；孤立3不妨礙。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: cd1f3d71a3456a1a2c90e91c98b3c616a6c81cfb80bc766effb371a9418f4eed
• original source SHA-256: e58be6b3dd89120f7fd12c07583f1e4197ebffd5d8058f2882ca58fc9b81553c
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）