六元素群對四點的完整作用

目標與範圍

明示24格表為有效群作用，但不是free或transitive。

完整Cayley與作用表及全稱公式核對，不由排列rows單獨判作用。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。點載體X={0,1,2,3}；(i,j)作用x<3為i+(−1)^j x mod3，並固定3。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• X — 四個points

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — 以同一完整有限群Cayley table、完整point carrier及total action table，全稱核e·x=x與(gh)·x=g·(h·x)。每個g因此誘導排列；有效作用本身不推出faithful、free或transitive，有限抽樣pairs不足。 · mko-finite-group-action

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

X=\{0,1,2,3\}

\begin{array}{c|cccc}\cdot&0&1&2&3\\\hline e&0&1&2&3\\r&1&2&0&3\\r^2&2&0&1&3\\s&0&2&1&3\\rs&1&0&2&3\\r^2s&2&1&0&3\\\end{array}

g^{-1}(g\cdot x)=(g^{-1}g)\cdot x=e\cdot x=x

x\mapsto g\cdot x\text{ has inverse }x\mapsto g^{-1}\cdot x

s\ne e,\quad s\cdot0=0

\text{the action is not free}

g\cdot0\in\{0,1,2\}\quad\forall g\in G

3\notin G\cdot0\Rightarrow\text{not transitive}

K=\{e,u\},\ u^2=e,\quad Y=\{0,1\}

\begin{array}{c|cc}*&e&u\\\hline e&e&u\\u&u&e\end{array}\quad\begin{array}{c|cc}\cdot&0&1\\\hline e&0&1\\u&0&1\end{array}

e\cdot x=x,\quad(gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\text{ for all indices}

G\curvearrowright X\text{ is qualified; free/faithful/transitive require separate certificates}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03, S04, S05, S06, S07 — S05、S06及S07分別示範三個不同額外責任，並不混成作用定義。
• S07 · premise_audit · G1, S03, S04 — 此小模型群律由mod2加法保留；恆等作用的兩邊總是x。
• S06 · premise_audit · G1, S03 — 3本身屬point載體且被全部g固定，不能從載體中刪去來改結論。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S03 — 有效群作用不要求free；此反例不破壞S03。
• S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — 排列是作用公理的後果，不能只由每列看似排列反證公理。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 表格對每個g與每個point恰有一值；相容式涵蓋全部6²·4=144 triples，不是只核每列像排列。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• 每列是排列就必為作用。 → reject — C₃作用在兩點可設e=id,r=swap,r²=id；r²r=e但id∘swap≠id，故相容失敗。
• 有效作用必free。 → reject — 本表s≠e且s·0=0。
• 有效作用必transitive或faithful。 → reject — S07的兩點trivial C₂作用既非transitive也非faithful。

結論與限制

明示24格表為有效群作用，但不是free或transitive。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: 66876f6517e8e0f296b1b8edfb9302c71f46b693da283ac405ce212032fd0684
• original source SHA-256: 66876f6517e8e0f296b1b8edfb9302c71f46b693da283ac405ce212032fd0684
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）