完整orbits與partition

目標與範圍

X的全部互異orbits為{0,1,2}與{3}，同orbit關係是等價關係。

同一完整六元素四點作用，遍歷全部g，不用單generator有界步。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。點載體X={0,1,2,3}；(i,j)作用x<3為i+(−1)^j x mod3，並固定3。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• G\cdot x — 指定point的全部群像

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — 在完整已認證有限群作用上，G·x={g·x:g∈G}須遍歷全部群元素。x約y iff存在g送x到y形成等價關係，不同orbits相等或不交並覆蓋carrier。單次作用結果、單generator有限步或stabilizer都不是orbit。 · mko-finite-group-orbit

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

X=\{0,1,2,3\}

\begin{array}{c|cccc}\cdot&0&1&2&3\\\hline e&0&1&2&3\\r&1&2&0&3\\r^2&2&0&1&3\\s&0&2&1&3\\rs&1&0&2&3\\r^2s&2&1&0&3\\\end{array}

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

g\cdot0=0,1,2,0,1,2\Rightarrow G\cdot0=\{0,1,2\}

g\in G

g\cdot3=3\Rightarrow G\cdot3=\{3\}

x\sim y\iff\exists g:\ g\cdot x=y

e\cdot x=x;\quad g\cdot x=y\Rightarrow g^{-1}\cdot y=x;\quad h\cdot y=z\Rightarrow(hg)\cdot x=z

g\cdot1=1,2,0,2,0,1;\quad g\cdot2=2,0,1,1,2,0

G\cdot1=G\cdot2=\{0,1,2\}

O=\{0,1,2\},\quad P=\{3\}

O\cap P=\varnothing,\quad O\cup P=X,\quad X/G=\{O,P\}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S04, S05, S07 — 這是point的子集partition，不是群元素的stabilizer或cosets。
• S07 · premise_audit · G1, S03, S04, S06 — 同orbit的不同起點可有相同集合，不應重算成三個互異orbits。
• S06 · premise_audit · G1, S02, S03 — 兩個witness的組合順序是hg，因先g再h。
• S05 · premise_audit · G1, S03 — orbit非空因e·3=3；固定point並不表示沒有orbit。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 只取e或單一次r·0=1都不是完整orbit。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 表格對每個g與每個point恰有一值；相容式涵蓋全部6²·4=144 triples，不是只核每列像排列。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• r·0=1就是orbit。 → reject — orbit是全體像的集合{0,1,2}，不是單一point1。
• point3沒有orbit因不動。 → reject — orbit恰為{3}。
• orbit0與orbit1互斥。 → reject — 兩者皆為{0,1,2}，完全相等。

結論與限制

X的全部互異orbits為{0,1,2}與{3}，同orbit關係是等價關係。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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