含正質量 tie 與全零似然欄的 MLE

目標與範圍

完整算argmax及固定tie rule的total estimator。

有限exact模型，不推無偏、一致或posterior。

已知條件與符號

• work

• G1 — Θ={0,1,2}，Ω={a,b,c,d,z}。三列law依序為(1/2,1/8,1/8,1/4,0)、(1/8,1/2,1/8,1/4,0)、(1/8,1/8,1/2,1/4,0)。固定tie優先次序2、0、1，不依未知theta。

• A(x) — 完整argmax set
• hat θ — tie-broken MLE

規則與來源

• mko_definition · cited — 每個theta須有對完整observation carrier的normalized finite law。對observed x建立全參數likelihood table與完整argmax set；固定、theta-independent deterministic tie order後，對全部observations形成total estimator。tie與all-zero likelihood須各有明示witness。MLE最大化likelihood而非posterior，不假設unique，也不推出unbiased、consistent或asymptotically optimal。 · mko-finite-maximum-likelihood-estimator
• work · prerequisite — likelihood L(theta;x)=Ptheta(x)，argmax包含所有達最大參數；固定完整參數排列可決定tie。

逐步主鏈

P_0,P_1,P_2

\sum_xP_j(x)=1/2+1/8+1/8+1/4=1\quad(j=0,1,2)

x=a,\quad L(\theta;a)

(L(0;a),L(1;a),L(2;a))=(1/2,1/8,1/8),\quad A(a)=\{0\}

x=b

L(\theta;b)=(1/8,1/2,1/8),\quad A(b)=\{1\}

x=c

L(\theta;c)=(1/8,1/8,1/2),\quad A(c)=\{2\}

x=d

L(\theta;d)=(1/4,1/4,1/4),\quad A(d)=\{0,1,2\}

x=z

L(\theta;z)=(0,0,0),\quad A(z)=\{0,1,2\}

\widehat\theta(x)=\text{first element of }A(x)\text{ in }(2,0,1)

(\widehat\theta(a),\widehat\theta(b),\widehat\theta(c),\widehat\theta(d),\widehat\theta(z))=(0,1,2,2,2)

\forall x\in\Omega:\ \widehat\theta(x)\in A(x)

\widehat\theta\text{ is a total finite MLE}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — total性含不可能樣本z，但不對其作觀察後機率宣稱。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — tie order預先固定，不可偷看真theta。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 不把0/0正規化為posterior。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 不得默認MLE唯一。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — c已完成其獨立case。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 不從a的結果沿用參數0。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — argmax是參數集合而非最大值1/2。
• S01 · premise_audit · G1, work — 零質量樣本仍屬total estimator定義域。

錯誤控制與反例

全列argmax

每個樣本都比較0、1、2三參數。

兩種tie

分開記d的正likelihood tie與z的全零tie。

• 全零似然欄沒有任何 maximizer。 → reject — 三參數皆達最大0。
• 在 d 的 likelihood 上，唯一達最大值的參數為 2。 → reject — argmax有三值；2只由tie order選出。
• 用真theta作tie優先順序。 → reject — estimator規則不能依未知theta。

結論與限制

argmax在d與z皆為Θ；固定order得到total table(0,1,2,2,2)。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: b70f7d0e33dd447f7ea1ecc0d95b7e12332b17dc0445dcd95ea962c56a1233e5
• original source SHA-256: fc9738f97fb73ca2a370a55d0540a368591e138d436c52e5271233f12285e7d6
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）