全部共軛認證rotation子群正規

目標與範圍

N={e,r,r²}為正規子群；H={e,s}雖為子群但不正規。

完整subgroup與所有g共軛／左右cosets核對，不在此建立商乘法。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• N,H — 正規與非正規子群

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — G須由完整Cayley table認證，H須先完整通過identity、product與inverse closure。正規性要求對每個g∈G完整驗gHg^{-1}=H；等價條件是每個g皆有gH=Hg。一個明示g,h使ghg^{-1}不屬H即可否證normal。trivial subgroup與whole group均正規。有限性本身、抽樣共軛或只檢生成元但未證生成責任都不足；本節點尚不宣稱quotient multiplication well-defined。 · mko-finite-normal-subgroup

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

N=\{e,r,r^2\}

\begin{array}{c|ccc}*&e&r&r^2\\\hline e&e&r&r^2\\r&r&r^2&e\\r^2&r^2&e&r\\\end{array}

e^{-1}=e,\quad r^{-1}=r^2,\quad(r^2)^{-1}=r

N^{-1}=N\Rightarrow N\le G

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

\begin{array}{c|ccc}gng^{-1}&e&r&r^2\\\hline e&e&r&r^2\\r&e&r&r^2\\r^2&e&r&r^2\\s&e&r^2&r\\rs&e&r^2&r\\r^2s&e&r^2&r\\\end{array}

N=\{e,r,r^2\},\quad B=\{s,rs,r^2s\}

gN=Ng=N\ (g=e,r,r^2);\qquad gN=Ng=B\ (g=s,rs,r^2s)

N\le G,\quad\forall g:\ gNg^{-1}=N

N\trianglelefteq G

H=\{e,s\}

ee=e,es=s,se=s,ss=e;\quad e^{-1}=e,s^{-1}=s\Rightarrow H\le G

g=r,\quad h=s\in H

r s r^{-1}=r^2s\notin H\Rightarrow H\not\trianglelefteq G

g\in G

g\{e\}g^{-1}=\{e\},\quad gGg^{-1}=G

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S10 · premise_audit · G1, S02, S07, S09 — 這兩個邊界不使其他任意subgroup也正規。
• S09 · premise_audit · G1, S01, S02, S08 — r⁻¹=r²由同表取得；乘法順序不可反轉。
• S08 · premise_audit · G1, S01, S02 — 後面的反例否證正規，不是否證H的子群性。
• S07 · premise_audit · G1, S04, S05, S06 — 未在此宣稱任何商群表或第一同構定理。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S04, S05 — 這裡cosets值由父表所有三元素乘積取得，不是代表元單一像。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S02, S04 — 所有六個g均核，沒有只測r、s而省略生成責任。
• S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — 正規性尚未證，不能因有限或index數字直接升格。
• S03 · premise_audit · G1, S01 — subgroup必先核closure，大小3本身不足。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• H大小2整除6故正規。 → reject — r s r⁻¹=r²s不在H。
• 只看N的乘積封閉便已證正規。 → reject — 閉性只供子群責任，還需全部g共軛；H就是子群但不正規反例。
• 共軛只測identity就足。 → reject — identity共軛對任何subset都不改值，不能排除H的r反例。

結論與限制

N={e,r,r²}為正規子群；H={e,s}雖為子群但不正規。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: afda0b4ee1c3617c0aaa2344f6db7818aaff3418cd954b96fa712b07765a328e
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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