四點乘積的全部開集

目標與範圍

由兩個 Sierpinski 因子生成全部乘積開集並核投影。

固定兩個非空有限因子；不處理零因子或外推無限 box 拓撲。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X=Y={0,1}，兩因子拓撲皆 {空集,{0},{0,1}}；a=(0,0),b=(0,1),c=(1,0),d=(1,1),P={a,b,c,d}。

• P — Cartesian 載體
• \mathcal B — 矩形基底
• \pi_i — 座標投影

規則與來源

• mko_definition · cited — 二因子finite models先驗每個factor topology，再建立完整Cartesian carrier與全部U×V basic rectangles，取任意聯集生成product topology。投影preimages必為open；對有限source Z，map z↦(f(z),g(z))連續恰當兩個coordinate maps連續。有限乘積與box topology相同，不能把這點外推到無限乘積；任意一族rectangles本身通常不是完整topology。 · mko-finite-product-topology
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — Cartesian 載體由有序對構成；乘積開集為任意開矩形聯；投影取指定座標；連續表示每個目標開集逆像開。

逐步主鏈

\varnothing\subset\{0\}\subset\{0,1\}

\tau_X,\tau_Y\text{ are topologies}

P=X\times Y

P=\{a,b,c,d\},\quad |P|=2\cdot2=4

U\times V,\quad U\in\tau_X,V\in\tau_Y

\mathcal B=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},P\}

\tau_P=\{\bigcup\mathcal C:\mathcal C\subseteq\mathcal B\}

\tau_P=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\},P\}

\{a,b\}\cap\{a,c\}=\{a\},\quad \{a,b\}\cup\{a,c\}=\{a,b,c\}

\tau_P\text{ is a topology}

\pi_1^{-1}(\{0\})=\{a,b\},\quad\pi_2^{-1}(\{0\})=\{a,c\}

\pi_1,\pi_2\text{ are continuous}

h(z)=(f(z),g(z)),\quad f,g\text{ continuous}

h^{-1}(U\times V)=f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\text{ open}

h\text{ continuous}

f=\pi_1\circ h,\quad g=\pi_2\circ h\text{ continuous}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S06, S07, definition_here — 判準針對完整六項乘積拓撲，不是未封閉矩形清單。
• S07 · premise_audit · S03, S04, definition_here — 需先核 Z 的拓撲與兩座標連續，這是條件命題。
• S06 · premise_audit · G1, S04, definition_here — 每個投影的全部三個目標開集已核完。
• S05 · premise_audit · S04 — 有限族的任意聯可重複二元聯完成，已涵蓋全部。
• S04 · premise_audit · S03 — 特別核新增項並非矩形，避免漏聯。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 尚未把矩形族直接稱完整拓撲。
• S02 · premise_audit · G1 — (0,1) 與 (1,0) 不合併。
• S01 · premise_audit · G1 — 有序點對的兩座標型別固定。

錯誤控制與反例

聯閉包

先建矩形，再取全部聯，不能停在基底。

型別與方向

投影逆像來自對應座標開集。

• 全部開集恰為五個矩形。 → reject — {a,b,c} 是兩矩形之聯且不是矩形。
• Cartesian 對不分順序。 → reject — b 與 c 是不同點。
• 有限 product=box 表示無限亦相同。 → reject — 在可數無限乘積 R^ℕ（所有實數序列），box 開集 ∏_{n∈ℕ}(-1,1) 非 product-open：任何含零的基本 product 鄰域只限制有限座標，可把未限制座標改成 2。

結論與限制

乘積拓撲恰六項，兩投影連續；有限來源的成對映射具座標連續判準。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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