全部代表pairs的商群表

目標與範圍

G/N的兩cosets A=N、B={s,rs,r²s}具良定乘法AA=A,AB=BA=B,BB=A。

完整正規資格、partition及36個代表pairs類指標；另列nonnormal失敗witness。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• A,B — 完整商cosets

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — N須先由完整表認證為normal subgroup。全部left cosets形成disjoint complete partition，quotient elements是coset sets而非代表元。乘法表以coset index記錄，且對每一對cosets及所有代表元替換完整驗product落入同一coset。identity為N，inverse由g^{-1}N給出。若N不正規，明示代表元選擇可產生不同product cosets，因此不能建商群。商群不自動commutative，也不提前宣稱第一同構定理。 · mko-finite-quotient-group

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

N=\{e,r,r^2\}

\begin{array}{c|ccc}*&e&r&r^2\\\hline e&e&r&r^2\\r&r&r^2&e\\r^2&r^2&e&r\\\end{array}\qquad\begin{array}{c|ccc}gng^{-1}&e&r&r^2\\\hline e&e&r&r^2\\r&e&r&r^2\\r^2&e&r&r^2\\s&e&r^2&r\\rs&e&r^2&r\\r^2s&e&r^2&r\\\end{array}

A=N,\quad B=\{s,rs,r^2s\}

eN=rN=r^2N=A;\quad sN=(rs)N=(r^2s)N=B;\quad A\sqcup B=G

g,h=e,r,r^2,s,rs,r^2s

\begin{array}{c|cccccc}(gh)N&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&A&A&A&B&B&B\\r&A&A&A&B&B&B\\r^2&A&A&A&B&B&B\\s&B&B&B&A&A&A\\rs&B&B&B&A&A&A\\r^2s&B&B&B&A&A&A\\\end{array}

Q=\{A,B\}

\begin{array}{c|cc}*&A&B\\\hline A&A&B\\B&B&A\\\end{array}

A=N,\quad B^{-1}=B

A\text{ identity},\quad A^{-1}=A,\quad B^{-1}=B

((gN)(hN))(kN)=(gh)kN

(gh)kN=g(hk)N=(gN)((hN)(kN))\Rightarrow G/N\text{ group}

H=\{e,s\},\quad eH=sH=H

er=r\in rH=\{r,rs\};\quad sr=r^2s\in r^2H=\{r^2,r^2s\}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S09 · premise_audit · G1, S01, S02, S05, S08 — H自身仍是子群，四乘積與逆元由父表核；失敗在代表獨立性。
• S08 · premise_audit · G1, S02, S05, S06, S07 — 本例商交換來自實際兩元素表，不宣稱任意商皆交換。
• S07 · premise_audit · G1, S02, S06 — B²=A而非B，不能把reflection類當identity。
• S06 · premise_audit · G1, S04, S05 — 表的兩個labels綁coset sets，沒有另加母群元素。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 因此任意換同coset的兩個代表都不改product coset，已完整核而非只看e、s。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S03 — 商元素是完整A、B，不是e與s兩個代表元。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 此資格不是因為直接寫下G/N便自動存在。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• A就是單一元素e。 → reject — A={e,r,r²}是三元素coset。
• H不正規也可照選e、r代表乘成商群。 → reject — e與s同coset，但er與sr的product cosets不同。
• 任何商群皆交換。 → reject — 取N={e}則商保留本群的sr=r²s≠rs。

結論與限制

G/N的兩cosets A=N、B={s,rs,r²s}具良定乘法AA=A,AB=BA=B,BB=A。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: 9926dfd65633dc37bc3085815d1b8976ae602dc6244141c8032b0308293af92a
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）