Z/4Z 對偶數理想取商

目標與範圍

I={0,2}為proper雙邊理想，R/I有兩個cosets及良定雙表。

完整四元素父環與二元素商環，不把任意proper理想商都稱域。

已知條件與符號

• calc

• G1 — R=Z/4Z，I={0,2}；父環運算為模4加乘。

• R — 模4父環
• I — 偶數理想
• E,O — 完整加法cosets

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設整數同餘與環法則；理想需加法子群及左右吸收。
• mko_definition · cited — a約b iff a-b屬I。classes為加法cosets；[a]+[b]=[a+b]、[a][b]=[ab]。完整核代表元獨立。本專案含一環要求1不等於0，因此排除I=R的退化zero ring。 · mko-finite-quotient-ring

逐步主鏈

R=\{0,1,2,3\}

\begin{array}{c|cccc}+&0&1&2&3\\\hline 0&0&1&2&3\\1&1&2&3&0\\2&2&3&0&1\\3&3&0&1&2\\\end{array}\qquad\begin{array}{c|cccc}*&0&1&2&3\\\hline 0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3\\2&0&2&0&2\\3&0&3&2&1\\\end{array}

I=\{0,2\}

0+0=0,\ 0+2=2,\ 2+0=2,\ 2+2=0;\quad -0=0,-2=2

r\in R,\quad i\in I

r0=0r=0;\quad(0,1,2,3)2=(0,2,0,2)=2(0,1,2,3)

a\sim b\iff a-b\in I

E=0+I=2+I=\{0,2\},\quad O=1+I=3+I=\{1,3\}

a'=a+i,\quad b'=b+j,\quad i,j\in I

(a'+b')-(a+b)=i+j\in I

a'=a+i,\quad b'=b+j

a'b'-ab=aj+ib+ij\in I

R/I=\{E,O\}

\begin{array}{c|cc}+&E&O\\\hline E&E&O\\O&O&E\\\end{array}\qquad\begin{array}{c|cc}*&E&O\\\hline E&E&E\\O&E&O\\\end{array}

0+I=E,\quad1+I=O

E\ne O,\quad R/I\text{ is a unital quotient ring}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03, S05, S06, S07 — 若I=R只剩一類且1=0，會違反本專案含一環慣例。
• S07 · premise_audit · G1, S01, S04, S05, S06 — 商表各有四格，E是零類，O是一類。
• S06 · premise_audit · G1, S02, S03, S04 — 非交換父環也須保留乘積順序aj、ib；此例父環雖交換仍不能略理想條件。
• S05 · premise_audit · G1, S02, S04 — i、j可取I全部元素，不只固定一組代表。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — E與O互斥且聯集是R，商元素不是單一0或1。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 左右兩邊皆核；不能僅由I大小就判為理想。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 元素2的逆元仍在I；非空與加法封閉均已核。
• S01 · premise_audit · G1 — 加法零0與乘法一1不同；不能只保留商表來取代父環。

錯誤控制與反例

理想先行

先核加法子群與雙邊吸收，再定義商乘法。

代表替換

a'b'−ab三項均須落I；只核0、1代表的四格不夠。

• R/I={0,1}作為父環子集。 → reject — 載體是E、O兩個coset集合；0、1只是可選代表。
• I=R也符合本專案1≠0要求。 → reject — 此時0+I=1+I=R。
• proper理想的商必為域。 → reject — Z/4Z的零理想proper，但商仍有非零2且2²=0。

結論與限制

I={0,2}為proper雙邊理想，R/I有兩個cosets及良定雙表。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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