座標梯度、駐點與可微的區別

目標與範圍

求指定二元多項式梯度並核兩個常見錯誤推論。

固定 standard Euclidean 座標順序 (x,y)；不自帶最優或下降證書。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• definition_here

• G1 — f(x,y)=x^2+xy+2y^2-4x+2y，座標依 (x,y)，評估點 p=(1,-1)。

• \nabla f — 固定順序梯度
• p — 精確評估點

規則與來源

• mko_definition · cited — 來源語義轉述：固定座標順序，梯度由每個座標偏導數組成；偏導存在與駐點都不自動給可微或極值。 · mko-gradient-vector
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• definition_here · prerequisite — 固定 standard Euclidean 座標下，梯度是每個座標偏導依順序組成的向量；駐點指所有梯度座標為零。

逐步主鏈

f=x^2+xy+2y^2-4x+2y

\partial_x f=2x+y-4

f=x^2+xy+2y^2-4x+2y

\partial_y f=x+4y+2

\nabla f=(\partial_x f,\partial_y f)

\nabla f(x,y)=(2x+y-4,x+4y+2)

p=(1,-1)

\nabla f(p)=(-3,-1)\ne(0,0)

2x+y=4,\quad x+4y=-2

(x,y)=(18/7,-8/7),\quad\nabla f=0

s(x,y)=x^2-y^2

\nabla s(0,0)=0,\quad s(t,0)>0>s(0,t)\ (t\ne0)

h(x,y)=x^3/(x^2+y^2)\ ((x,y)\ne0),\quad h(0,0)=0

\partial_xh(0,0)=1,\quad\partial_yh(0,0)=0

h(t,t)=t/2,\quad Dh_{\text{candidate}}(t,t)=t

\frac{|h(t,t)-t|}{\|(t,t)\|_2}=\frac1{2\sqrt2}\not\to0

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S07 — 使用全微分的必要餘項條件，明確否定偏導存在⇒可微。
• S07 · premise_audit · G1 — 偏導逐一存在，但尚未證任意方向的線性餘項。
• S06 · premise_audit · G1 — 不是只稱 saddle 而不給兩方向值。
• S05 · inverse_equivalence · S03 — 这里只證駐點，未因梯度零直接稱最小值。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 梯度非零沒有被轉成未給定的下降步或最優分類。
• S03 · premise_audit · S01, S02 — 不能只給一個偏導就稱完整梯度。
• S02 · premise_audit · G1 — 4y 來自 2y^2，沒有漏係數 2。
• S01 · premise_audit · G1 — 2y^2 和 2y 對 x 導數為零。

錯誤控制與反例

座標順序

每次 symbolic differentiation 與點值都依 (x,y)。

責任分離

駐點、可微、極值及 global optimum 不混為一談。

• 梯度只需一個座標。 → reject — 來源 R^2 要兩個按序偏導。
• 零梯度必最小。 → reject — s=x^2-y^2 在原點兩側異號。
• 所有偏導存在就可微。 → reject — S07-S08 的對角餘項不趨零。

結論與限制

梯度為 (2x+y-4,x+4y+2)，p 處 (-3,-1)；零梯度與偏導存在各不足以推出極值與可微。

驗證及來源綁定

4 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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