三點離散空間的全部點對分離

目標與範圍

完整核三點離散空間的 Hausdorff 性，並對照一個失敗點對。

有限全枚舉；不把有限 Hausdorff 推離散的結論外推。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}, tau=P(X)；對照拓撲 sigma={空集,{a},{a,b},X}。

• \mathcal N(x) — 全部開鄰域
• \tau,\sigma — 兩個指定拓撲

規則與來源

• mko_definition · cited — 必須forall x≠y存在open U,V，使x∈U、y∈V且U∩V=empty。一個失敗pair即可證non-Hausdorff；有限sample成功不足以證一般空間。本輪完整有限topology exhaustive驗證。empty與singleton vacuously Hausdorff；finite Hausdorff implies discrete不可外推至infinite spaces。 · mko-hausdorff-space
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — Hausdorff：每對異點各有包含該點的不交開鄰域；點的開鄰域為含該點的開集。

逐步主鏈

\tau=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},X\}

\tau\text{ is a topology}

x\ne y\in X

\{\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\}\text{ are all unordered pairs}

(x,y)=(a,b)

U=\{a\},\ V=\{b\},\ U\cap V=\varnothing

(x,y)=(a,c)

U=\{a\},\ V=\{c\},\ U\cap V=\varnothing

(x,y)=(b,c)

U=\{b\},\ V=\{c\},\ U\cap V=\varnothing

\forall x\ne y\ \exists U,V\text{ disjoint open neighborhoods}

(X,\tau)\text{ is Hausdorff}

\sigma=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\},X\}

\mathcal N_\sigma(c)=\{X\},\quad\mathcal N_\sigma(a)=\{\{a\},\{a,b\},X\}

U\in\mathcal N_\sigma(c),\quad V\in\mathcal N_\sigma(a)

U\cap V=V\ne\varnothing

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S07 — 一個完整失敗點對足以否定全稱性。
• S07 · premise_audit · G1 — 這個失敗點對有完整鄰域枚舉，不是選壞一對見證。
• S06 · premise_audit · S02, S03, S04, S05 — 空與單點空間則沒有異點對，條件真。
• S05 · premise_audit · S01, S02 — 全稱成立來自全部點對而非若干成功。
• S04 · premise_audit · S01, S02 — 見證都在完整拓撲內。
• S03 · premise_audit · S01, S02 — 不僅不交，也逐一核點的包含。
• S02 · premise_audit · G1 — 反向有序對可交換見證，不需重複另一證明。
• S01 · premise_audit · G1 — 清單是完整冪集，不是樣本。

錯誤控制與反例

點對完整性

列完整無序異點對再交換方向。

失敗證書

非 Hausdorff 需一個點對的所有鄰域選擇都失敗。

• 成功分離一對就證 Hausdorff。 → reject — 定義需每一異點對。
• 只選一組相交鄰域就證非 Hausdorff。 → reject — 必須排除該點對的所有不交見證；S07 完整列出才足夠。
• 所有無限 Hausdorff 空間也離散。 → reject — 通常實數線 Hausdorff，但單點不開。

結論與限制

離散 tau 為 Hausdorff；鏈拓撲 sigma 由 (a,c) 點對證非 Hausdorff。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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