幾何與望遠鏡級數的完整尾項

目標與範圍

用精確部分和與餘項證兩個級數收斂。

只處理明示全公式：從 0 起的 2^{-n} 及從 1 起的 1/[n(n+1)]。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• definition_here

• G1 — S_N=sum_{n=0}^N 2^{-n}，T_N=sum_{n=1}^N 1/[n(n+1)]，N≥1。

• S_N,T_N — 兩種部分和
• R_N — 幾何餘項

規則與來源

• mko_definition · cited — 本輪處理精確幾何級數與望遠鏡級數。保留起始index、partial sum與remainder；幾何級數只在|r|<1使用sum公式。長有限prefix與a_n→0皆不足以單獨證收斂。 · mko-infinite-series
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• definition_here · prerequisite — 無窮級數的和定義為依指定起點取的有限部分和之極限。

逐步主鏈

S_N=\sum_{n=0}^{N}2^{-n}

S_N-\tfrac12S_N=1-2^{-(N+1)}

\tfrac12 S_N=1-2^{-(N+1)}

S_N=2-2^{-N}

R_N=2-S_N

R_N=2^{-N}>0

2^N\ge N+1\quad(N\ge0)

0<R_N\le1/(N+1)\to0

\frac1{n(n+1)}

\frac1n-\frac1{n+1}

T_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)

T_N=1-\frac1{N+1}

1-T_N=1/(N+1)

\forall\varepsilon>0\ \exists M\ \forall N\ge M:\ |T_N-1|<\varepsilon

\lim S_N=2,\quad\lim T_N=1

\sum_{n=0}^{\infty}2^{-n}=2,\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}=1

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S04, S07 — 沒有對 |r|≥1 使用幾何和收斂公式。
• S07 · premise_audit · S06 — 只因單項趨零並不足夠，此處已證部分和極限。
• S06 · inverse_equivalence · G1, S05 — 留最後負項 -1/(N+1)，不能刪掉。
• S05 · inverse_equivalence · G1 — 索引 n=0 不在此級數中。
• S04 · premise_audit · S03 — 全 N 歸納及全尾 epsilon 界，而非大 N 抽樣。
• S03 · inverse_equivalence · S02 — N 有限時餘項非零。
• S02 · inverse_equivalence · S01 — 乘數非零，故可反向還原。
• S01 · inverse_equivalence · G1 — 右尾指數是 N+1，不是 N。

錯誤控制與反例

索引起點

幾何從 0、望遠鏡從 1，首項不能混。

部分和與極限

先給精確餘項再證趨零。

• 有限 S_N 已恰等於 2。 → reject — 餘項 2^{-N}>0。
• 單項趨零必使級數收斂。 → reject — 調和級數分塊每塊至少 1/2，仍發散。
• r=1 的幾何級數和仍為 1/(1-r)。 → reject — 分母零且部分和 N+1 發散。

結論與限制

兩級數分別為 2 與 1；精確尾誤差分別為 2^{-N} 與 1/(N+1)。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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