derivation-mko-lagrange-theorem-finite-groups-01 · ocme-new142-reader-adoption-20261021
H={e,s}有三個互異左陪集，每個大小2，所以6=[G:H]|H|=3·2。
完整六元素表與完整coset partition；subset反例不聲稱同階subgroup不存在。
calcG1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。G — 六元素群載體r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labelsH — 指定order2 subgroup[G:H] — 互異左陪集個數calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。mko_definition · cited — H須由完整Cayley table認證為subgroup。全部left cosets gH必須相等或不交並完整覆蓋G；h↦gh給出H到gH的bijection，所以每個coset大小為|H|。結論|G|=[G:H]|H|。本輪converse family只證d整除|G|不表示任意指定d-element subset是subgroup；不以該witness證明或否定某個order-d subgroup是否存在。 · mko-lagrange-theorem-finite-groups操作前
G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}操作後
\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}條件：無
規則：calc · 依賴：G1
葉節點依據：calc
將給定配對公式逐36對展開，全部輸出在同一六元素載體，沒有缺格。
操作前
(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))
操作後
((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)條件：無
規則：calc · 依賴：G1, S01
葉節點依據：calc
兩種括號的座標公式相同，證全部216 triples結合律；(0,0)兩側中性，列出的逆元兩側乘回(0,0)。
操作前
H=\{e,s\}操作後
e\in H;\quad ee=e,es=s,se=s,ss=e;\quad e^{-1}=e,s^{-1}=s條件：無
規則：calc · 依賴：G1, S01, S02
葉節點依據：calc
全部四乘積與兩逆元留在H，先直接認證子群。
操作前
g=e,r,r^2,s,rs,r^2s
操作後
eH=sH=\{e,s\};\quad rH=(rs)H=\{r,rs\};\quad r^2H=(r^2s)H=\{r^2,r^2s\}條件：無
規則：calc · 依賴：G1, S01, S03
葉節點依據：calc
全部六個g的左陪集都列出，再去重為三組。
操作前
C_0=\{e,s\},C_1=\{r,rs\},C_2=\{r^2,r^2s\}操作後
C_i\cap C_j=\varnothing\ (i\ne j),\quad C_0\cup C_1\cup C_2=G
條件：無
規則：calc · 依賴：G1, S02, S03, S04
葉節點依據：calc
三個明列sets互斥覆蓋；一般重疊gh₁=kh₂亦推出k⁻¹g=h₂h₁⁻¹∈H，故兩cosets相等。
操作前
L_g:H\to gH,\quad h\mapsto gh
操作後
L_g^{-1}(k)=g^{-1}k\Rightarrow |gH|=|H|=2條件：無
規則：calc · 依賴：G1, S02, S03, S04
葉節點依據：calc
左平移的逆映射明確，因此三個cosets均與H等大。
操作前
G=C_0\sqcup C_1\sqcup C_2,\quad |C_i|=2
操作後
[G:H]=3,\quad|G|=3\cdot2=6,\quad|H|\mid|G|
條件：無
規則：mko_definition · 依賴：G1, S05, S06
葉節點依據：mko_definition
完整不交partition與等大證書給Lagrange計數。
操作前
K=\{e,r,s\},\quad|K|=3\mid6操作後
rr=r^2\notin K\Rightarrow K\text{ not subgroup};\quad\{e,r,r^2\}\le G條件：無
規則：calc · 依賴：G1, S01, S03, S07
葉節點依據：calc
指定三元素subset雖有divisor大小卻不封閉；同群仍有另一個order3 subgroup，避免錯誤存在性推論。
本稿無局部子步。
S08 · premise_audit · G1, S01, S03, S07 — K失敗只否證K；不能宣稱所有三元素候選都失敗。S07 · premise_audit · G1, S05, S06 — 整除來自實際subgroup cosets，不是僅看數字6和2。S06 · premise_audit · G1, S02, S03, S04 — g⁻¹k回到H源自k∈gH，且兩方向復合皆identity。S05 · premise_audit · G1, S02, S03, S04 — 相等或不交用H的乘法及逆元封閉，不依隨意分組。S04 · premise_audit · G1, S01, S03 — 不能只列eH和rH而漏掉r²H的兩個group元素。S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 大小2整除6本身不是subgroup證書；此處已核closure。S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。
任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。
reject — r²不在K但r·r=r²。reject — {e,r,r²}由完整表確是order3 subgroup。reject — r²與r²s仍未覆蓋。H={e,s}有三個互異左陪集，每個大小2，所以6=[G:H]|H|=3·2。
1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。
b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f69a1f66a1aae765143e62e40fb90126333ae697e9503310f59d7ba0e97a5a2b269a1f66a1aae765143e62e40fb90126333ae697e9503310f59d7ba0e97a5a2b2SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW