完整求解二階矩陣的核

目標與範圍

T(x,y)=(x+2y,2x+4y)的核為span{(−2,1)}。

精確2×2實線性映射及全稱null equation；有限盒搜尋不替代核。

已知條件與符號

• calc

• G1 — A=[[1,2],[2,4]]，T:R²→R²，T(v)=Av，kernel目標為(0,0)。

• A — 完整2×2矩陣
• t — 任意實自由變數

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設通常實數域與座標向量運算、矩陣乘法、線性獨立及生成的定義；所用消去均為可逆初等列運算。
• mko_definition · cited — 本輪以精確2×2整數矩陣綁定T:R²→R²，使用符號null equations或精確row reduction求kernel。bounded coordinate search只回答該盒內，不可取代全實數kernel。非零fiber是affine solution set，不是kernel。 · mko-linear-map-kernel

逐步主鏈

T\binom{x}{y}=A\binom{x}{y}

T(x,y)=(x+2y,2x+4y)

v\in\ker T

x+2y=0,\quad2x+4y=0

\left[\begin{array}{cc|c}1&2&0\\2&4&0\end{array}\right]

R_2\leftarrow R_2-2R_1:\quad\left[\begin{array}{cc|c}1&2&0\\0&0&0\end{array}\right]

x+2y=0

y=t,\quad x=-2t,\quad t\in\mathbb R

v=(-2t,t)

v=t(-2,1),\quad A(-2,1)^T=(0,0)^T

\ker T=\{t(-2,1):t\in\mathbb R\}

\ker T=\operatorname{span}\{(-2,1)\},\quad\dim\ker T=1

T(-1,1/2)

T(-1,1/2)=(0,0),\quad(-1,1/2)\notin\mathbb Z^2

T(x,y)=(1,2)

(x,y)=(1,0)+t(-2,1),\quad t\in\mathbb R

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S01, S04 — 反代得固定輸出(1,2)而非0，區分兩種集合。
• S07 · premise_audit · G1, S04 — 此例僅說明符號證書，不以單例取代全稱參數化。
• S06 · premise_audit · G1, S04, S05 — 無限多個t不表示nullity無限；維度是基底大小。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S04 — 需兼有所有解的表示與生成向量反代，不能只找到一個核元素。
• S04 · inverse_equivalence · G1, S03 — 只取整數t會漏實向量，例如t=1/2。
• S03 · inverse_equivalence · G1, S02 — 零row表示0=0，不表示y=0。
• S02 · inverse_equivalence · G1, S01 — 右側改成非零b是另一fiber，不是kernel。
• S01 · premise_audit · G1 — 不得把columns當成只測兩個輸入的證書。

錯誤控制與反例

零目標

kernel固定Av=0；Av=b另列fiber。

自由變數域

t∈R而非有限盒或整數列。

• 零row迫使y=0。 → reject — 零row只是0=0，y為自由實變數。
• 所有核元素只有整數倍(−2,1)。 → reject — t=1/2給合法實核元素。
• T^{-1}((1,2))也是kernel。 → reject — 它不含零且輸出非零。

結論與限制

T(x,y)=(x+2y,2x+4y)的核為span{(−2,1)}。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: f6f3f4d9ab5a376fa1c72b390832230ea9415f6f3e6c3963d0c1a0cf9ee2e43a
• original source SHA-256: f6f3f4d9ab5a376fa1c72b390832230ea9415f6f3e6c3963d0c1a0cf9ee2e43a
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）