兩次公平擲幣的完整鞅檢查

目標與範圍

在同一空間逐時核鞅的全部責任。

只處理時間0、1、2；不使用停止或收斂定理。

已知條件與符號

• work

• G1 — Ω={HH,HT,TH,TT}，每原子質量1/4，σ代數為冪集。
• G2 — P0={Ω}；P1={{HH,HT},{TH,TT}}；P2為四個singleton。F_t=σ(P_t)。
• G3 — 依上述原子順序，X0=(0,0,0,0)，X1=(1,1,-1,-1)，X2=(2,0,0,-2)。

• Ω — 完整樣本空間
• P_t — 資訊partition
• X_t — 時刻t值

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 在共同有限機率空間上完整核filtration nesting、adaptedness、可積性及每個t的E[X_{t+1}|F_t]=X_t。零質量資訊block只a.s.決定；不推出獨立增量、Markov、optional stopping或收斂。 · mko-martingale
• work · prerequisite — 有限partition生成σ代數；適應表示在每時刻資訊塊上常數；正質量塊條件平均為加權和除塊質量。

逐步主鏈

p_\omega=1/4

\sum_{\omega\in\Omega}p_\omega=1

\mathcal P_0,\mathcal P_1,\mathcal P_2

\mathcal F_0\subseteq\mathcal F_1\subseteq\mathcal F_2

X_t\big|_B\quad(B\in\mathcal P_t)

X_t\text{ is }\mathcal F_t\text{-measurable}\quad(t=0,1,2)

E|X_0|,E|X_1|,E|X_2|

(E|X_0|,E|X_1|,E|X_2|)=(0,1,1)

E[X_1\mid\Omega]

(1+1-1-1)/4=0=X_0

E[X_2\mid\{HH,HT\}]

\frac{2/4+0/4}{1/2}=1=X_1\big|_{\{HH,HT\}}

E[X_2\mid\{TH,TT\}]

\frac{0/4-2/4}{1/2}=-1=X_1\big|_{\{TH,TT\}}

\text{nesting, adaptedness, integrability, both time equations}

(X_t,\mathcal F_t)_{t=0}^{2}\text{ is a martingale}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, G2, G3, S07, mko_definition — 結論只綁這三時刻；零質量塊的一般值僅a.s.決定。
• S07 · premise_audit · G1, G2, G3, S06, work — 兩個P1塊互斥且覆蓋Ω，因此沒有遺漏條件情況。
• S06 · premise_audit · G1, G2, G3, S05, work — 直接用未除1/2的分子會錯得1/2。
• S05 · premise_audit · G1, G2, G3, S04, work — 分母是P(Ω)=1，且已使用全部四原子。
• S04 · premise_audit · G1, G2, G3, S03, work — 負值先取絕對值，不能用期望相消冒充可積。
• S03 · premise_audit · G1, G2, G3, S02, work — 若X1在HH與HT不同，這一步就失敗。
• S02 · premise_audit · G1, G2, G3, S01, work — 反查每個細塊都有唯一母塊，沒有交叉分割。
• S01 · premise_audit · G1, G2, G3, work — 不得把不同時刻的邊際law拼成共同空間。

錯誤控制與反例

共同空間

每一表均使用HH、HT、TH、TT同順序。

逐塊檢查

t=1兩塊都除以1/2；不以總期望代替。

• 只要三時刻期望都零就足夠。 → reject — 仍須核適應與每個資訊塊的條件平均。
• 第一塊條件平均為1/2。 → reject — 那是未正規化的分子，還須除塊質量1/2。
• 任意零質量塊必有唯一條件值。 → reject — 零分母不定義商；版本只在a.s.意義唯一。

結論與限制

此有限過程是相對F0⊆F1⊆F2的鞅。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: 3e4962dc9cb35d34a2042159a6a6d4be004e5b0186957eb56a98adc6741ea543
• original source SHA-256: 641e4e51f6819b6df72016d7daa4b23f5fb3f6e935cefe065795b2f2fedfc3c4
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）