三階矩陣的完整RREF與上下界

目標與範圍

A=[[1,2,3],[2,4,6],[1,1,1]]的row與column rank均為2。

完整3×3整數矩陣，精確消去及直接column-span證書。

已知條件與符號

• calc

• G1 — A三rows為(1,2,3)、(2,4,6)、(1,1,1)，在R上計rank。

• r_i — RREF非零rows
• c_i — 原columns

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設通常實數域與座標向量運算、矩陣乘法、線性獨立及生成的定義；所用消去均為可逆初等列運算。
• mko_definition · cited — 本輪處理2×2或3×3整數矩陣。非零r-minor只給rank下界；rank上界須全部較大minor為零或完整exact RREF。det=0只排除full rank，不單獨決定rank；row-rank=column-rank依定理。 · mko-matrix-rank

逐步主鏈

A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&1&1\end{pmatrix}

R_2\leftarrow R_2-2R_1:\quad\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}

R_3\leftarrow R_3-R_1:\quad\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-1&-2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\0&-1&-2\end{pmatrix}

R_2\leftrightarrow R_3,\quad R_2\leftarrow-R_2:\quad\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}

R_1\leftarrow R_1-2R_2:\quad\operatorname{RREF}(A)=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}

r_1=(1,0,-1),\quad r_2=(0,1,2)

\alpha r_1+\beta r_2=0\Rightarrow\alpha=\beta=0;\quad\operatorname{rowrank}A=2

c_1=(1,2,1),\quad c_2=(2,4,1),\quad c_3=(3,6,1)

c_3=-c_1+2c_2\Rightarrow\operatorname{colrank}A\le2

\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}\text{ in rows 1,3 and columns 1,2}

\det=1-2=-1\ne0\Rightarrow c_1,c_2\text{ independent}

2\le\operatorname{colrank}A\le2,\quad\operatorname{rowrank}A=2

\operatorname{rank}A=2,\quad\det A=0

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S05, S06, S07 — 未用此例證一般row-rank等於column-rank定理。
• S07 · premise_audit · G1, S06 — minor只認證兩columns獨立；需S06才確定rank。
• S06 · premise_audit · G1 — 非零minor只給下界，此關係才給上界。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S02, S03, S04 — 完整生成與獨立同時給上下界，不是只數非零rows。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 兩非零rows有不同pivot，獨立並生成全部row space。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 未除以零；−1的逆數仍為−1。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 運算不改row span，新舊rows互為線性組合。
• S01 · premise_audit · G1 — 零row不表示整個矩陣為零或rank0。

錯誤控制與反例

可逆操作

每步可逆，精確保持row span。

雙界

非零 minor 給下界；完整的 column-span 證書或完整消去給上界。

• det A=0故rank A=0。 → reject — 非零2×2 minor給rank至少2。
• 非零2×2 minor已給rank上界2。 → reject — I₃也有這種minor但rank3。
• 三columns皆非零所以rank3。 → reject — c₃=−c₁+2c₂為非平凡關係。

結論與限制

A=[[1,2,3],[2,4,6],[1,1,1]]的row與column rank均為2。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: d8af8464c4da76d69787d86c35189042d83bb8445d6d889fd803182b71cf72bb
• original source SHA-256: 68e30ccbe7cb5fcb0a3a995a4a766df4bcf2e97e70abc01d7195859973bf2fe5
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）