完整因數分解與μ(30)

目標與範圍

μ(30)=−1，μ(12)=0，μ(1)=1；30的全部divisor值加總為0。

正整數完整UPF與完整divisor cross-check，未完成分解不分類。

已知條件與符號

• calc

• G1 — 主例n=30，另核12與1；μ對平方因數為0、對k個distinct prime的squarefree整數為(−1)^k。

• \mu — Mobius函數
• D(n) — 全部positive divisors

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
• mko_definition · cited — 完整UPF certificate提供multiplicities與distinct-prime count。factor order不影響。sum_{d|n}mu(d)=1 if n=1 else0作精確cross-check。0與negative integers不在domain；incomplete trial division不得分類。 · mko-mobius-function

逐步主鏈

30=2\cdot15=2\cdot3\cdot5

30=2^1 3^1 5^1

(e_2,e_3,e_5)=(1,1,1)

30\text{ squarefree},\quad k=3

k=3

\mu(30)=(-1)^3=-1

30=2^1 3^1 5^1

D(30)=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}

d=1,2,3,5,6,10,15,30

\mu(d)=1,-1,-1,-1,1,1,1,-1\text{ respectively}

\sum_{d\mid30}\mu(d)

1-1-1-1+1+1+1-1=0

12=2^2\cdot3

2^2\mid12\Rightarrow\mu(12)=0

D(1)=\{1\},\quad\mu(1)=1

\sum_{d\mid1}\mu(d)=1;\quad n\le0\text{ outside domain}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S05, S07 — 本稿不定義 μ(0)，因此不能依本定義賦值為 0；0 不在此稿的分類定義域內。
• S07 · premise_audit · G1, S02 — 完整分解含重數2、1，distinct count2不足以分類。
• S06 · premise_audit · G1, S05 — 這次有限核對只認證30，不取代一般divisor-sum定理。
• S05 · premise_audit · G1, S03, S04 — 例如6有兩個prime給+1，30有三個給−1，不能用大小奇偶。
• S04 · premise_audit · G1, S01 — 列表同時含1與30，並非只列prime或proper divisors。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 因數排序不改3個prime的個數或重數。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 先核重數再數種類，不能只數三種就略平方條件。
• S01 · premise_audit · G1 — 沒有未分類的剩餘因子，才能讀multiplicities。

錯誤控制與反例

重數先行

任何prime重數≥2就給0，distinct count不再決定符號。

完整分解

未試到sqrt(remaining)前不可把剩餘數直接當prime。

• μ(12)=1因有兩種prime。 → reject — 2²整除12，故值0。
• μ(1)=−1。 → reject — 空prime product的k=0，(−1)^0=1。
• μ(0)=0依本定義。 → reject — domain是positive integers，0不分類。

結論與限制

μ(30)=−1，μ(12)=0，μ(1)=1；30的全部divisor值加總為0。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: 3505226a6366d7f0fe4ff0cdea84d0829765aebda7ef89862b6364d7922604cd
• original source SHA-256: 59850a6096a974b7810ab0b6adb6274aa72c4c80f42e39bd8ed038c2ccad9727
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）