偏微分方程：常係數二階算子的主部分類與二次多項式候選的符號殘差

目標與範圍

在 ℝ² 上給定線性常係數算子 L(u)=u_xx+2u_xy−3u_yy+u_x 與右端 g(x,y)=2x+y−2。先依明示的主部約定 a u_xx+b u_xy+c u_yy 與判別式 b²−4ac 對 L 分類；再對三個二次多項式候選 u_A=x²+xy+y²、u_B=x²+2xy、u_C=x²+xy+y²+y 精確計算符號殘差 R=L(u)−g，判定哪些候選在全 ℝ² 上滿足 L(u)=g，並說明 u_B 的點殘差在整條直線 y=−8 上為零，為何仍不構成解。

停在 MKO 的切片內：二變數二次多項式候選、線性常係數算子、多項式的符號偏導數、點殘差、主部分類與多項式恆等式。主部約定固定為 a u_xx+b u_xy+c u_yy（混合項係數記為 b，而非 2b）。不討論一般解、邊界或初始條件、存在唯一性、弱解或適定性；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• numeric_evaluation
• distributive
• eq_replace
• poly_partial
• quantifier_negation

• G1 — 算子與方程：對 ℝ² 上的二次可微函數 u，L(u)=u_xx+2u_xy−3u_yy+u_x，其中 u_xy 表示先對 x、再對 y 求偏導；右端 g(x,y)=2x+y−2；所問的方程是在全 ℝ² 上 L(u)=g。
• G2 — 主部約定（MKO 要求明示）：二階主部寫成 a u_xx+b u_xy+c u_yy，b 是 u_xy 的完整係數；判別式 D=b²−4ac。
• G3 — 三個二次多項式候選：u_A=x²+xy+y²、u_B=x²+2xy、u_C=x²+xy+y²+y。

• u_x,\ u_y — u 對 x、對 y 的一階偏導數
• u_{xx},\ u_{xy},\ u_{yy} — 二階偏導數；u_{xy} 表示先對 x 再對 y 微分
• L — 本稿的線性常係數算子
• a,\ b,\ c — 主部 a u_{xx}+b u_{xy}+c u_{yy} 的係數
• D=b^2-4ac — 本約定下的判別式
• A,\ B,\ C — 另一約定 A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy} 的係數
• R_u=L(u)-g — 候選 u 的符號殘差多項式

規則與來源

• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• eq_replace · prerequisite — 等值代換：命題中的一個式子可換成與它相等的式子，命題的真假不變。
• quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• neg_mul · prerequisite — 負號與乘法：(−u)v=−(uv)，(−u)(−v)=uv。
• order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
• power_laws · prerequisite — 整數指數律（底數非零或指數為正整數）：a^m·a^n=a^{m+n}，(a^m)^n=a^{mn}，(ab)^n=a^n b^n，a^0=1。
• mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。
• add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。
• add_comm · prerequisite — 加法交換律：u+v=v+u。
• forall_intro · prerequisite — ∀引入（全稱推廣）：若某命題對一個「任意的」元素 x 證成，而證明沒有對 x 加任何額外假設，則它對論域中所有 x 成立。
• exists_intro · prerequisite — ∃引入：若找到 a∈D 使 P(a) 成立，則 ∃x∈D, P(x)。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• mko_pde · cited — 本輪固定二變數二次多項式候選 u 與線性常係數算子，精確計算一階或二階殘差。二階主部採 a u_xx+b u_xy+c u_yy，判別式為 b²−4ac；這個約定必須明示。點殘差為零只證該點；只有符號殘差多項式全零，才證指定多項式在全域滿足該算子方程。 · mko-partial-differential-equation
• poly_partial · prerequisite — 多項式的偏導數：二變數多項式有各階偏導數；∂/∂x 逐項且線性地作用，把 y 視為常數，∂/∂x(x^m y^k)=m x^(m−1) y^k（m≥1），m=0 時為 0；∂/∂y 對稱地作用。多項式的混合偏導與求導次序無關：u_xy=u_yx。
• pde_class · prerequisite — 常係數二階線性算子的分類（標準定義）：若主部 a u_xx+b u_xy+c u_yy 的係數不全為 0，則 b²−4ac>0 稱雙曲型，b²−4ac=0 稱拋物型，b²−4ac<0 稱橢圓型。分類只看主部，與低階項及右端無關。
• poly_coeff_zero · prerequisite — 係數全為 0 的多項式在 ℝ² 的每一點取值都是 0；因此兩個係數逐一相同的多項式在每一點取值相同。
• L_conv · lemma — 若同一個主部也寫成 A u_xx+2B u_xy+C u_yy（即 a=A、b=2B、c=C），則 b²−4ac=4(B²−AC)；因 4>0，兩個判別式同號。

逐步主鏈

L(u)=u_{xx}+2u_{xy}-3u_{yy}+u_x

a=1,\ b=2,\ c=-3;\ \text{lower-order part } u_x;\ g=2x+y-2

D=b^2-4ac

D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16

D=16

L\ \text{is hyperbolic}

A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}=u_{xx}+2u_{xy}-3u_{yy}

A=1,\ B=1,\ C=-3,\ B^2-AC=4=\tfrac{16}{4}

u_A=x^2+xy+y^2

(u_A)_x=2x+y,\ (u_A)_y=x+2y

(u_A)_x=2x+y,\ (u_A)_y=x+2y

(u_A)_{xx}=2,\ (u_A)_{xy}=1,\ (u_A)_{yy}=2

L(u_A)=(u_A)_{xx}+2(u_A)_{xy}-3(u_A)_{yy}+(u_A)_x

L(u_A)=2x+y-2

R_{u_A}=L(u_A)-g

R_{u_A}=(2-2)x+(1-1)y+(-2+2)=0

R_{u_A}\equiv 0

\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2:\ L(u_A)(x,y)=g(x,y)

u_B=x^2+2xy

(u_B)_x=2x+2y,\ (u_B)_y=2x,\ (u_B)_{xx}=2,\ (u_B)_{xy}=2,\ (u_B)_{yy}=0

R_{u_B}=L(u_B)-g

R_{u_B}=(2+4-0+2x+2y)-(2x+y-2)=y+8

R_{u_B}(x,-8)

R_{u_B}(x,-8)=-8+8=0\ \text{for every } x\in\mathbb{R}

R_{u_B}(0,0)

R_{u_B}(0,0)=8\neq 0,\ \text{so}\ \neg\,\forall (x,y):\ L(u_B)(x,y)=g(x,y)

u_C=x^2+xy+y^2+y

R_{u_C}\equiv 0,\quad u_C-u_A=y\not\equiv 0

\text{results of S03, S09, S13, S14}

L\ \text{hyperbolic};\ u_A,u_C\ \text{solve } L(u)=g\ \text{on}\ \mathbb{R}^2;\ u_B\ \text{does not}

局部子步與引理

(2B)^2-4AC

4(B^2-AC)

2+2\cdot 1-3\cdot 2

-2

逐步反向審查

• S15 · premise_audit · S03, S09, S13, S14, and_intro_elim — 只是合取已證的結論。不宣稱一般解、存在唯一性或適定性，這些不在本切片內（MKO a2、para2）。
• S14 · premise_audit · G3, poly_partial, poly_coeff_zero, S09 — 需要 u_C 的符號殘差為零與 u_C−u_A 不為零多項式。只宣稱沒有附加條件時解不唯一；不宣稱加上邊界或初始條件後的任何情況。
• S13 · premise_audit · S11, quantifier_negation — 否證只需一個精確的點；需要的是 S11 的殘差公式與量詞否定。這不說 u_B 在任何點都不滿足方程（S12 顯示它在 y=−8 上滿足）。
• S12 · premise_audit · S11, eq_replace — 只是在直線 y=−8 上求值。結論只關於這些點，不推出 R_{u_B} 是零多項式；S13 顯示它不是。
• S11 · inverse_equivalence · S10, eq_replace, distributive — 代換與合併同類項都是等值改寫，可逆向還原；兩式是同一個多項式。
• S10 · premise_audit · G3, poly_partial — 與 S05、S06 相同，只用多項式求導規則；不宣稱反向。
• S09 · premise_audit · S08, poly_coeff_zero, forall_intro — 需要殘差是零多項式（S08），而不是在某些點為零。只宣稱 u_A 是這個方程在 ℝ² 上的一個解；不宣稱它是唯一解或一般解。
• S08 · inverse_equivalence · S07, distributive, add_inverse — 合併同類項是多項式的等值改寫，可以逆向拆開；兩式是同一個多項式。
• S07.1 · inverse_equivalence · numeric_evaluation — 反向：−2+6=4=2+2·1，兩邊是同一個整數。
• S07 · inverse_equivalence · S05, S06, eq_replace — 等值代換可雙向進行：把 2x+y−2 拆回 2+2·1−3·2+(2x+y)，每一項又等於對應的偏導數。
• S06 · premise_audit · S05, poly_partial — 需要 S05 的一階偏導與求導規則；二階偏導都是常數，因為 u_A 是二次多項式。不宣稱反向。
• S05 · premise_audit · G3, poly_partial — 只用多項式的逐項求導規則。不反向宣稱：由偏導數回推原函數只能定到另一變數的函數，所以此步不是等價。
• S04.1 · inverse_equivalence · power_laws, distributive — 反向展開 4(B²−AC)=4B²−4AC=(2B)²−4AC；兩式是同一個多項式，對所有 A、B、C 成立，沒有附加條件。
• S04 · premise_audit · S01, S02, L_conv — 結論依賴 b=2B 這個一致的讀法。只宣稱兩個正確公式同號，不宣稱任何恰好同號的混用公式都可接受；錯誤控制給出混用導致符號改變的例子。
• S03 · premise_audit · S01, S02, pde_class — 需要主部非零與 D 的符號。分類只是主部的性質；本步不宣稱 L(u)=g 在任何邊界或初始條件下有解或解唯一。
• S02 · inverse_equivalence · S01, numeric_evaluation, neg_mul — 反向重算：16−4=12=−4ac，與 4ac=−12 一致；兩邊是同一個數，等式雙向成立。
• S01 · premise_audit · G1, G2, mko_pde — 此步只依約定讀出係數，不推出新事實。讀法依賴 G2：若改用 A u_xx+2B u_xy+C u_yy，混合項係數是 B=1，判別式公式也要跟著換（見 S04）。

錯誤控制與反例

點殘差為零不等於解

MKO 指出的常見誤解是由取樣點殘差為零宣稱全域解。u_B 的殘差在整條直線 y=−8 上為零，甚至是無限多個點，但殘差多項式 y+8 不是零多項式，(0,0) 處等於 8。只有符號殘差的每個係數都為 0（S08），才證明在全 ℝ² 上成立。

混用 b 與 2B 的判別式

MKO 的另一個誤解是混用 2b u_xy 與 b u_xy 的判別式。例：算子 u_xx+2u_xy+2u_yy。依 G2，a=1、b=2、c=2，D=4−8=−4<0，橢圓型；依 A u_xx+2B u_xy+C u_yy，B=1，B²−AC=1−2=−1<0，同樣橢圓型。若把混合項係數 2 直接當成 B 代入 B²−AC，得 4−2=2>0，會錯判為雙曲型。所以必須先寫明約定，再用該約定自己的公式。

分類與候選通過都不給唯一性

S03 的雙曲型只描述主部；S09 只說 u_A 是一個解。S14 找到第二個解 u_C=u_A+y，說明沒有邊界或初始條件時解不唯一。存在唯一性與適定性需要另外的定理與條件，本稿不處理。

• u_B 在 (0,−8) 與 (5,−8) 的殘差都是 0，所以 u_B 在 ℝ² 上滿足 L(u)=g → reject — R_{u_B}=y+8 不是零多項式；R_{u_B}(0,0)=8≠0。
• u_xx+2u_xy+2u_yy 的混合項係數是 2，代入 B²−AC 得 2>0，所以它是雙曲型 → reject — 在 2B 約定下 B=1，B²−AC=−1；在 b 約定下 D=4−8=−4；兩者都是橢圓型。
• u_A 滿足 L(u)=g，所以 u_A 是此方程的唯一解 → reject — u_C=u_A+y 也滿足，且 u_C≠u_A。
• L 是雙曲型，所以 L(u)=g 對任何邊界資料都有唯一解 → reject — 分類只看主部；本稿沒有證明任何存在唯一或適定性結果，MKO a2 也排除這類宣稱。

結論與限制

在約定 a u_xx+b u_xy+c u_yy、D=b²−4ac 下，L 的係數為 a=1、b=2、c=−3，D=16>0，L 是雙曲型（改用 A u_xx+2B u_xy+C u_yy 時 B=1、B²−AC=4，同號）。u_A=x²+xy+y² 與 u_C=x²+xy+y²+y 的符號殘差都是零多項式，所以都在全 ℝ² 上滿足 L(u)=g；u_B=x²+2xy 的殘差是 y+8，雖然在整條直線 y=−8 上為零，但在 (0,0) 等於 8，所以 u_B 不是解。

• poly_partial、pde_class 與 poly_coeff_zero 是本稿的前提（標準定義與多項式事實），不在本稿中從更基本的定義推出。
• 本稿不處理一般解、邊界或初始條件、存在唯一性與適定性（MKO 的 formal next）。

驗證及來源綁定

14 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: d7f1dca1ded3622b8bc0d17369236ab7e35c0df919f547af5b7b66b3c462a9b0
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）