半徑、端點與完整係數律

目標與範圍

對幾何係數 2^n 求 R，並展示端點及 0/infinity 邊界。

完整係數公式才給半徑證書；有限前綴不足。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• geom
• harmonic_boundaries

• G1 — 主級數 sum_{n≥0}2^n(x-1)^n；另考慮 endpoint law 2^n/(n+1)。

• R — 允許 0 或 infinity 的半徑
• r — 完整幾何比

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 對sum_{n≥0} a_n(x-c)^n，R可為0、有限正數或infinity。若|x-c|<R則絕對收斂；若|x-c|>R則發散；|x-c|=R時不能由R單獨判定。本輪geometric law固定a_n=q^n；endpoint law固定a_n=R^(-n)/(n+1)^p；prefix boundary的兩序列在0≤n≤N皆為0，之後分別為q_1^(n-N-1)與q_2^(n-N-1)。Ratio test只在相應極限存在時可用，不能當一般定義。有限coefficient prefix不足以決定一般radius，且不得以只支援bounded-real supremum的規則排除R=0或infinity。 · mko-power-series-radius-of-convergence
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• geom · prerequisite — 有限幾何和為 (1-r^(N+1))/(1-r)（r≠1）；|r|<1 時餘項趨零，|r|≥1 的幾何項不趨零。
• harmonic_boundaries · prerequisite — 調和級數以二進位分塊每塊≥1/2 發散；交錯調和以偶奇部分和夾擠收斂。

逐步主鏈

2^n(x-1)^n

r^n,\quad r=2(x-1)

|x-1|<1/2

|r|<1\Longrightarrow\sum_{n\ge0}|r|^n<\infty

|x-1|>1/2

|r|>1\Longrightarrow r^n\not\to0

x=1+1/2\text{ or }1-1/2

r=1\text{ or }-1;\quad r^n\not\to0

a_n=2^n/(n+1),\quad x=1\pm1/2

\sum1/(n+1)\text{ diverges};\quad\sum(-1)^n/(n+1)\text{ converges conditionally}

a_n=n!,\quad x\ne0\text{ about center }0

|(a_{n+1}x^{n+1})/(a_nx^n)|=(n+1)|x|\ge2\text{ eventually};\quad R=0

a_n=1/n!,\quad x\in\mathbb R\text{ fixed}

|x|/(n+1)\le1/2\text{ eventually};\quad R=\infty

a_n=b_n=0\ (0\le n\le N);\quad a_n=2^{n-N-1},\ b_n=3^{n-N-1}\ (n>N)

R_a=1/2,\quad R_b=1/3\text{ despite the same finite prefix}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1 — 半徑差異來自明示無限尾，而不是推測未知後項。
• S07 · premise_audit · G1 — x 固定後 N 可依 x，這足夠證逐點全實數收斂半徑無限。
• S06 · premise_audit · G1 — R=0 是合法邊界，不需普通有界集合 sup 規則排除。
• S05 · premise_audit · G1 — 端點使用獨立調和與交錯證書。
• S04 · premise_audit · S01, S02, S03 — 未把此族端點狀態外推全部同半徑冪級數。
• S03 · premise_audit · S01 — 發散由必要項條件，非僅公式分母符號。
• S02 · premise_audit · S01 — 必須用絕對值判內部，不只正 r。
• S01 · inverse_equivalence · G1 — 係數 2^n 與位移冪一起合併，未丟中心。

錯誤控制與反例

端點另算

內外半徑判準不處理等號，端點獨立證明。

全律

係數規則要涵蓋全部 n。

• |x-c|=R 必絕對收斂。 → reject — 主幾何族端點項不趨零。
• ratio limit 不存在就沒有收斂半徑。 → reject — a_n=1+(-1)^n/2 的相鄰比交替為 1/3 與 3，極限不存在；但 1/2≤a_n≤3/2 使 |x|<1 受幾何支配，|x|>1 項不趨零，所以半徑 1。
• 前 N 個係數唯一決定半徑。 → reject — S08 給相同前綴、不同半徑的完整律。

結論與限制

主族 R=1/2 且兩端發散；同半徑可有不同端點，R=0 與 infinity 均合法，有限前綴不決定 R。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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