完整模7平方表

目標與範圍

模7非零平方剩餘為{1,2,4}；−5≡2有根3、4，3無根。

bounded odd prime7，完整非零平方表；不用Euler或Legendre。

已知條件與符號

• calc

• G1 — p=7，候選a=−5與3；非零根代表恰為1、2、3、4、5、6。

• Q_7,N_7 — 非零平方與非平方類
• p — 已核odd prime

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。假設完整trial division到平方根可判質數。
• mko_definition · cited — 奇質數p下，先正規化a；完整枚舉全部非零平方決定非零平方剩餘，零、p=2與合數模數分開。此處不用Euler判準或Legendre符號。 · mko-quadratic-residue

逐步主鏈

p=7

7>2,\quad2\nmid7,\quad\sqrt7<3\Rightarrow7\text{ odd prime}

a=-5

a\equiv2\pmod7,\quad0<2<7

x=1,2,3

1^2\equiv1,\quad2^2\equiv4,\quad3^2\equiv2\pmod7

x=4,5,6

\begin{array}{c|rrrrrr}x&1&2&3&4&5&6\\\hline x^2\bmod7&1&4&2&2&4&1\end{array}

\begin{array}{c|rrrrrr}x&1&2&3&4&5&6\\\hline x^2\bmod7&1&4&2&2&4&1\end{array}

Q_7=\{1,2,4\},\quad N_7=\{3,5,6\}

a\equiv2\pmod7

\operatorname{roots}(2)=\{3,4\},\quad\operatorname{roots}(1)=\{1,6\},\quad\operatorname{roots}(4)=\{2,5\}

a=3,\quad3\notin\{1,2,4\}

x^2\not\equiv3\pmod7\text{ for every }x\in\mathbb Z

p=2\text{ or }m=8

\operatorname{roots}_{2}(1)=\{1\};\quad\operatorname{roots}_{8}(1)=\{1,3,5,7\}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S01, S06 — 模8四奇數的平方均1，無其他類；此表不定義Legendre或Euler。
• S07 · premise_audit · G1, S04, S05 — 無根由完整residue表而非有界整數搜尋推得。
• S06 · premise_audit · G1, S02, S05 — 每對不同，因非零x且奇prime7不允許2x=0。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — Q₇不含0，N₇也不含0；兩者只partition非零載體。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 未列x=0是因目前分類非零平方；零另分支。
• S03 · premise_audit · G1, S01 — 3²=9的餘數是2，不是整數9。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — −5不是無效輸入；同餘只改代表不改類。
• S01 · premise_audit · G1 — 不得在合數模數沿用後面的兩根結論。

錯誤控制與反例

零類

候選先normalize，0獨立於非零residue/nonresidue。

完整根表

x=1至6全部列出才可證absence。

• 0是本節非零平方剩餘。 → reject — 0類另列，不在非零集合Q₇。
• 模7的3有根因3²=9。 → reject — 9≡2，不是3；完整表無3。
• 模8的1也恰兩根。 → reject — 1、3、5、7四根皆成立。

結論與限制

模7非零平方剩餘為{1,2,4}；−5≡2有根3、4，3無根。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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