三個來源座標的秩零度

目標與範圍

T:R³→R²，A=[[1,2,3],[2,4,6]]有rank1、nullity2，3=1+2。

一個完整精確矩陣的kernel、image與來源維度證書，不取代一般證明。

已知條件與符號

• calc

• G1 — A為2×3矩陣[[1,2,3],[2,4,6]]，T(x,y,z)=A(x,y,z)^T，來源R³、目標R²。

• u,v — kernel基底
• s — 非核方向係數

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設通常實數域與座標向量運算、矩陣乘法、線性獨立及生成的定義；所用消去均為可逆初等列運算。
• mko_definition · cited — 矩陣A為m×n並明示T:R^n→R^m。以exact RREF、kernel basis與column-space rank驗n=nullity+rank。nullity是kernel dimension而非解數；sampled vectors不足。 · mko-rank-nullity-theorem

逐步主鏈

A\in\mathbb R^{2\times3},\quad T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2

\dim(\operatorname{domain}T)=3

\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}

R_2\leftarrow R_2-2R_1:\quad\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\end{pmatrix}

T(x,y,z)=(x+2y+3z)(1,2)

\operatorname{im}T=\operatorname{span}\{(1,2)\},\quad T(s,0,0)=s(1,2)

T(x,y,z)=0

x=-2y-3z,\quad(x,y,z)=y(-2,1,0)+z(-3,0,1)

u=(-2,1,0),\quad v=(-3,0,1)

Au=Av=0,\quad\alpha u+\beta v=0\Rightarrow\alpha=\beta=0

\mathcal B_{\ker}=(u,v),\quad\mathcal B_{\operatorname{im}}=((1,2))

\operatorname{nullity}T=2,\quad\operatorname{rank}T=1

\dim\mathbb R^3=3,\quad\operatorname{nullity}T=2,\quad\operatorname{rank}T=1

3=2+1=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T

(x,y,z)=s(1,0,0)+y(-2,1,0)+z(-3,0,1)

s=x+2y+3z

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03, S04, S05 — 第二、三座標定y、z，第一座標再定s，故唯一。
• S07 · premise_audit · G1, S01, S06 — 不是數字巧合，S03與S05給完整像與核基底。
• S06 · premise_audit · G1, S03, S04, S05 — 核的實參數給無限元素，但維度2。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — 不只數自由參數，而是已直接核基底資格。
• S04 · inverse_equivalence · G1, S02 — y、z為任意實數，不限有限網格。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 非零(1,2)獨立，是像的一項基底。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 下步另直接證column-space，避免只猜rank。
• S01 · premise_audit · G1 — shape固定映射方向，不可用目標維度作左側。

錯誤控制與反例

映射方向

m×n矩陣來源Rⁿ，本例n=3。

維度非元素數

nullity計kernel basis大小，不計無限解數。

• 2×3矩陣來源維度是2。 → reject — 輸入三座標，來源R³。
• 核無限故nullity無限。 → reject — 完整兩向量基底給nullity2。
• 只測幾個核向量就證完整核。 → reject — 需S04的全稱解與S05獨立。

結論與限制

T:R³→R²，A=[[1,2,3],[2,4,6]]有rank1、nullity2，3=1+2。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: 1e139ae9f1da30da2e69441c4c7cbb917eb85b0291ab7065aaec2ef3b2d88dec
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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