同一資料函數與兩個參數law

目標與範圍

核total estimator並計算逐theta期望。

本節不由期望自動宣稱統計品質。

已知條件與符號

• work

• G1 — Θ={1/4,3/4}，Ω={00,01,10,11}；P_(1/4)=(9,3,3,1)/16，P_(3/4)=(1,3,3,9)/16。
• G2 — U(x)=(x1+x2)/4，依Ω順序的total table為(0,1/4,1/4,1/2)，目標參數為g(theta)=theta。

• θ — 固定但未知參數
• U — 同一total statistic

規則與來源

• mko_definition · cited — 有限parameter model與共同sample space上，statistic table只依observation。逐theta可計算expectation但本輪不宣稱unbiased、consistent、sufficient、identifiable或posterior；完整sampling distribution留後續節點。 · mko-statistical-estimator
• work · prerequisite — 有限law機率非負且總和一；statistic只依樣本，期望為所有outcomes的加權和。

逐步主鏈

\Omega=\{00,01,10,11\}

U=(0,1/4,1/4,1/2)

U(x)=(x_1+x_2)/4

U\text{ does not depend on }\theta

x=01

u_{\rm obs}=U(01)=1/4

E_{1/4}[U]=0(9/16)+(1/4)(3/16)+(1/4)(3/16)+(1/2)(1/16)

E_{1/4}[U]=1/8

E_{3/4}[U]=0(1/16)+(1/4)(3/16)+(1/4)(3/16)+(1/2)(9/16)

E_{3/4}[U]=3/8

E_{1/4}[U]=1/8,\quad E_{3/4}[U]=3/8

\theta\mapsto E_\theta[U]\text{ is a parameterwise table}

V_\theta(x)=\theta

V_\theta\text{ is not a usable unknown-parameter estimator rule}

U:\Omega\to\mathbb Q\text{ total and parameter-independent}

U\text{ qualifies as an estimator for this model}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — 兩個期望數字沒有被擴大成一致性或posterior結論。
• S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 形式上每個Vtheta是函數，但不是此模型要求的同一資料函數。
• S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 變的是law而不是estimator定義。
• S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 不把不同theta的權重混合。
• S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 01與10值相同但各自有質量。
• S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — estimate1/4不是整個四值函數U。
• S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 兩個theta都使用同一個U table。
• S01 · premise_audit · G1, G2, work — 沒有漏掉11或多值entry。

錯誤控制與反例

total table

四個outcomes逐一對應，不因同值合併而漏資料。

theta與資料

同一U，兩套Ptheta，禁止暗換U。

• U在11沒定義也可稱total。 → reject — total要求每個carrier outcome有值。
• 令U(x)=theta即可做未知theta的資料估計。 → reject — 未知theta不能作資料規則的輸入。
• 觀察estimate1/4就是E_(1/4)U。 → reject — 完整加權期望為1/8。

結論與限制

U是同一total estimator；觀察01的estimate為1/4，兩law期望為1/8與3/8。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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