相對開集不等於母空間開集

目標與範圍

計算 Y={b,c} 的子空間拓撲與全部相對閉集。

完整有限母拓撲，所有相對補集在 Y 內取。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}，tau_X={空集,{a},{a,b},X}，Y={b,c}。

• Y — 子空間載體
• \tau_Y — 相對拓撲

規則與來源

• mko_definition · cited — tau_Y={U∩Y:U∈tau_X}，重複與空交集正規化。relative-open未必ambient-open且不要求U⊆Y；relative-closed以Y內補集open或F∩Y、F ambient closed判定。全部拓撲公理以Y作相對全集。 · mko-subspace-topology
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 子空間拓撲為所有母開集與子空間載體的交；相對閉集是相對開集在子空間載體內的補集。

逐步主鏈

\varnothing\subset\{a\}\subset\{a,b\}\subset X

\tau_X\text{ is a topology},\quad Y\subseteq X

\varnothing\cap Y,\ \{a\}\cap Y

\varnothing,\ \varnothing

\{a,b\}\cap Y,\ X\cap Y

\{b\},\ Y

\tau_Y=\{U\cap Y:U\in\tau_X\}

\tau_Y=\{\varnothing,\{b\},Y\}

\varnothing\subset\{b\}\subset Y

\tau_Y\text{ is a topology on }Y

\{Y\setminus V:V\in\tau_Y\}

\mathcal F_Y=\{Y,\{c\},\varnothing\}

\{b\}\in\tau_Y

\{b\}\notin\tau_X

Y\setminus\{c\}=\{b\}\in\tau_Y

\{c\}\text{ is relatively closed};\quad\{b\}\text{ is not relatively closed}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S06, S07 — 相對閉性完全由完整相對拓撲核對。
• S07 · premise_audit · G1, S04 — 母開集見證是 {a,b}，並非 {b} 自己。
• S06 · premise_audit · S04 — 若錯在 X 補集，會得到不是 Y 子集的集合。
• S05 · premise_audit · S04 — 全集項是 Y，不是 X。
• S04 · premise_audit · S02, S03 — 四個母開集都已取交，因此沒有漏掉相對開集。
• S03 · inverse_equivalence · G1 — 見證 {a,b} 不必包含於 Y。
• S02 · inverse_equivalence · G1 — 空交集仍是合法相對開集。
• S01 · premise_audit · G1 — 不從欲求子空間族反推母族合法。

錯誤控制與反例

交集全列

逐一遍歷母開集，再去除重複。

相對全集

相對補集與公理均固定使用 Y。

• 見證母開集必須包含於 Y。 → reject — {b} 的見證 {a,b} 不包含於 Y。
• {b} 在 X 中開。 → reject — 未列在完整母拓撲。
• Y 的相對全集仍是 X。 → reject — 相對拓撲的全集是 Y。

結論與限制

tau_Y={空集,{b},Y}，相對閉集為 {空集,{c},Y}。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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