中心平移與 factorial 的 Taylor 多項式

目標與範圍

以中心 a=1、order 2 構造指定三次多項式的 T_2。

只建有限 Taylor 多項式，不把有限 jet 當一般餘項或解析性證書。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• definition_here

• G1 — f(x)=1+2(x-1)+3(x-1)^2-(x-1)^3，a=1，n=2。

• h=x-1 — 中心位移
• T_n — 有限 Taylor 多項式

規則與來源

• mko_definition · cited — 固定center a及order n≥0，並要求f^(k)(a)對0≤k≤n全部存在。T_n(x)=sum_{k=0}^n f^(k)(a)(x-a)^k/k!；n=0時為常數f(a)。Taylor polynomial本身不含remainder bound，也不保證無窮Taylor series收斂或等於f。若f本身是degree≤n的多項式則可exact重建；一般smooth函數不得由此外推analytic。 · mko-taylor-polynomial
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• definition_here · prerequisite — 中心 a、階數 n 的 Taylor 多項式為從 k=0 到 n 的 f^(k)(a)*(x-a)^k/k! 之和，須全部中心 jet 存在；n=0 時為 f(a)。

逐步主鏈

h=x-1

f(x)=1+2h+3h^2-h^3

f'(x)=2+6h-3h^2

f(1)=1,\quad f'(1)=2

f''(x)=6-6h

f''(1)=6

T_2(x)=\sum_{k=0}^{2}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k

T_2(x)=1+2h+\frac6{2!}h^2

2!=2

T_2(x)=1+2(x-1)+3(x-1)^2

f(x)-T_2(x)

f(x)-T_2(x)=-(x-1)^3

f^{(3)}(1)=-6

T_3(x)=T_2(x)-h^3=f(x)

n=0\text{ as a separate order boundary}

T_0(x)=f(1)=1

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S02, S05 — 不能把 n=0 誤作沒有任何項。
• S07 · premise_audit · G1 — degree≤n 的特殊重建不外推任意 smooth 函數。
• S06 · inverse_equivalence · G1, S05 — 此等式不等於宣稱一般 Taylor 餘項定理已證。
• S05 · inverse_equivalence · S04 — 可反向由二次係數 3 乘 2! 回讀二階導數 6。
• S04 · premise_audit · S02, S03 — 二次係數不是裸導數 6。
• S03 · premise_audit · S02 — 沒有只給最高階而漏低階。
• S02 · premise_audit · S01 — 導數都在同一中心 1 評估。
• S01 · premise_audit · G1 — h 不是 x，不能省略 -1。

錯誤控制與反例

factorial

每個 k 階導數除 k!，含 0!=1。

不帶餘項承諾

有限多項式本身不保證任意區間誤差。

• 二次係數是 6。 → reject — 必除 2! 得 3。
• 相同 jet 可直接放到中心 0。 → reject — jet 綁中心 1，中心改變需重新評估。
• T_2 必等於完整 f。 → reject — 本例差為非零三次項。

結論與限制

T_2=1+2(x-1)+3(x-1)^2，差為 -(x-1)^3；T_3 才等於此 f。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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