先證基底再讀取維度

目標與範圍

B=((1,1),(1,−1))是R²有序基底，故dim R²=2。

完整R²座標族與精確有理消去；不由例子證一般基底不變定理。

已知條件與符號

• calc

• G1 — V=R²；b₁=(1,1)，b₂=(1,−1)；P的columns依序為b₁、b₂。

• P — 基底column矩陣
• B — 有序候選基底

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設通常實數域與座標向量運算、矩陣乘法、線性獨立及生成的定義；所用消去均為可逆初等列運算。另明示假設有限維基底大小不變定理。
• mko_definition · cited — 本輪只處理R²/R³完整座標族。先精確核線性獨立與生成，成立後才以基底大小給dimension。獨立族只給下界，生成族只給上界；一般基底基數不變依有限維定理。 · mko-vector-space-dimension

逐步主鏈

b_1=(1,1),\quad b_2=(1,-1)

P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

R_2\leftarrow R_2-R_1:\quad\begin{pmatrix}1&1\\0&-2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}1&1\\0&-2\end{pmatrix}

R_2\leftarrow-\tfrac12R_2:\quad\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\ ;\ R_1\leftarrow R_1-R_2:\quad I_2

\alpha b_1+\beta b_2=0

P\binom{\alpha}{\beta}=0\iff\alpha=\beta=0

(x,y)\in\mathbb R^2

(x,y)=\frac{x+y}{2}b_1+\frac{x-y}{2}b_2

B\text{ independent and spans }V

B\text{ basis};\quad\dim V=|B|=2

C=((1,0))

C\text{ independent},\quad\operatorname{span}C=\{(x,0):x\in\mathbb R\}\ne V

D=((1,0),(0,1),(1,1))

D\text{ spans }V,\quad(1,0)+(0,1)-(1,1)=0

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S06 — 三係數1、1、−1不全為零，不能稱三項為基底。
• S07 · premise_audit · G1, S06 — 此例區分獨立的下界與確切維度。
• S06 · premise_audit · G1, S04, S05 — 維度2不是因清單有兩項，而是兩項已證為基底。
• S05 · premise_audit · G1, S01 — 除2合法；x、y未受有限網格限制。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S03 — 獨立只給維度至少2；生成仍須另證。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 兩操作均可逆，所以齊次解與相容性均保留。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — −2為精確值，不是接近零的浮點pivot。
• S01 · premise_audit · G1 — 矩陣有兩row、兩column，母空間固定R²。

錯誤控制與反例

兩項資格

獨立與生成均通過才稱基底。

定理層

基底大小不變是明示前提，不由例子推全稱。

• 一個獨立向量表示dim R²=1。 → reject — 尚未生成(0,1)，只給下界1。
• 三項生成清單表示dim R²=3。 → reject — 上述D有非平凡線性關係。
• det P=0因此本例維度0。 → reject — det P=−2不是0，完整RREF為I₂。

結論與限制

B=((1,1),(1,−1))是R²有序基底，故dim R²=2。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: f627a1afb0693b4ff43791c3e3fc4f77de78ee6d8f6ae0c5183d04ab4767dfb6
• original source SHA-256: f627a1afb0693b4ff43791c3e3fc4f77de78ee6d8f6ae0c5183d04ab4767dfb6
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）