公平Bernoulli平均的Chebyshev尾端

目標與範圍

由全序列IID前提導出WLLN。

有限variance版弱大數律；只證依機率收斂。

已知條件與符號

• work

• G1 — 在一個已給定機率空間上，(X_i)_{i≥1}為無限IID序列，對任意有限不同indices的joint law都因子分解為Bernoulli(1/2)的乘積。此為全序列前提，不從有限資料估出。

• bar X_n — n項樣本平均
• N — epsilon-delta尾端起點

規則與來源

• mko_definition · cited — 限明示IID通用證書、共同有限mean mu與variance sigma squared。independence先給Var(sample mean)=sigma squared/n，再用exact Chebyshev epsilon-delta tail證依機率收斂；有限模擬不足。 · mko-weak-law-large-numbers
• work · prerequisite — 假設Chebyshev、期望線性與variance加法含covariance；獨立的有限二次矩變數covariance零。依機率收斂表示任意epsilon>0、delta>0皆有N，使所有n≥N的偏差機率P(|Y_n-Y|>epsilon)<delta。

逐步主鏈

P(X_i=0)=P(X_i=1)=1/2

\mu=1/2,\quad E[X_i^2]=1/2

\sigma^2=E[X_i^2]-\mu^2

\sigma^2=1/2-1/4=1/4

\bar X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i

E[\bar X_n]=\frac1n\sum_{i=1}^n\mu=1/2

i\ne j,\quad E[X_iX_j]=E[X_i]E[X_j]

\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0

\operatorname{Var}(\bar X_n)=n^{-2}\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i)

\operatorname{Var}(\bar X_n)=1/(4n)

\varepsilon>0

P(|\bar X_n-1/2|>\varepsilon)\le\frac1{4n\varepsilon^2}

\varepsilon,\delta>0,\quad N=\lfloor1/(4\varepsilon^2\delta)\rfloor+1

n\ge N\implies P(|\bar X_n-1/2|>\varepsilon)<\delta

\forall\varepsilon,\delta>0\ \exists N\ \forall n\ge N

\bar X_n\xrightarrow{P}1/2

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 不是a.s.收斂證明或有限n常態等式。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — epsilon與delta先任取，N可依它們改變。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — epsilon必須正且每個mean、variance來自同一n。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 不能把分母n平方漏成n。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 同分布本身不保證此式。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 分母n必須正，取n≥1。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — 此定理可容許零variance，本例則為1/4。
• S01 · premise_audit · G1, work — i任意，非只對X1成立。

錯誤控制與反例

獨立用途

只在cross covariance消去時使用，不把同分布當獨立。

嚴格尾端

N取floor臨界值加一，確保<delta。

• 相同邊際即可消covariance。 → reject — 仍需要獨立；完全相同的重複變數不會平均掉variance。
• 弱律證所有路徑收斂。 → reject — 此處結論是依機率而非逐路徑。
• 有限樣本像IID就足夠。 → reject — 所用前提涵蓋整個無限序列。

結論與限制

在宣告無限IID前提下，樣本平均依機率收斂到1/2。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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