實向量空間間線性映射

數學敘述

T:V到W為實線性映射，若對所有u,v及實數alpha,beta有T(alpha u+beta v)=alpha T(u)+beta T(v)。有限維矩陣公式提供全稱座標證書；帶非零平移的仿射映射通常不線性。

代表公式（精確 TeX）

T(v)

成立條件

• 題庫明示R^n到R^m的矩陣或矩陣加bias公式。
• 矩陣分配律提供全稱證書；有限輸入抽樣不證任意黑箱映射線性。

符號作用域

• T — 實線性映射
• V — 來源空間
• W — 目標空間

直觀、定義與常見誤解

單一等式同時涵蓋加法與齊次性。

矩陣乘法在有限維座標中給線性映射。

Ax+b只有b=0時才通過線性資格。

把任意仿射映射、只通過幾個樣本的黑箱，或只滿足加法的函數稱為線性。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實向量空間 — 來源與目標皆為實向量空間。
• 函數映射 — T須為明示總映射。
• 線性組合與生成 — 線性映射保持有限線性組合。

驗證界線

座標矩陣證書只涵蓋明示有限維公式；不外推任意黑箱，也不宣稱有界、連續、單射或滿射。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

在賦範空間上加入有界線性算子。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。