實數大小與順序

數學敘述

實數的通常順序 ≤ 滿足自反、反對稱、傳遞及任兩數可比較；a<b 表示 a≤b 且 a≠b。任意實數 a、b、c 都有 a<b 當且僅當 a+c<b+c。非空有限實數集合有最小與最大元素；閉區間 [l,u]（l≤u）包含兩端點。

代表公式（精確 TeX）

a\in R

成立條件

• 只談實數的通常全序，不把任意關係或複數宣告為同一種順序。
• 題庫採安全整數或正分母有理數；比較 p/q 與 r/s 時 q、s>0，可比較 ps 與 rq。
• 有限極值集合非空；閉區間先驗下界不大於上界。代表公式只標示實數論域。

符號作用域

• a — 待比較的實數
• R — 實數論域

直觀、定義與常見誤解

實數的三分比較輸出 <、= 或 >。乘正分母保留順序；如果任意乘負數，必須反向，不能把本輪的正分母前提刪掉。

有限非空集合按值決定極值，不按輸入列出的先後。空集合在此不指定最小或最大元素；單元素集合的兩個極值相同。

閉區間會員條件是 l≤x≤u；l=u 時只有一個值。兩數同加 c 不改變比較，因此平移參數不被拿來充作新的實質題型。

忽略分母正負、漏掉閉區間端點，或對空集合給任意極值。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實數 — 順序論域明示為實數。
• 有理數 — 精確分數表示及正分母規約。

驗證界線

精確有限實例可重算；通常實數全序及平移等價仍未新增形式 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

依專案固定版 Mathlib 綁定實數線性順序、加法保序與非空有限極值。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。