有限交換環上的多項式環

數學敘述

R為有限交換含一環時，R[x]的每個元素是有限支撐係數序列；加法逐係數，乘法為有限卷積。若1不等於0，單項式1,x,x平方等依degree互異，因此普通R[x]不稱有限環。

代表公式（精確 TeX）

P(R)

成立條件

• 係數環用完整有限交換環雙表；多項式係數陣列以尾端零正規化。
• 不假設R為域、整環、UFD或Euclidean domain；有零因子時不使用degree乘法加法公式。

符號作用域

• P — 多項式環紀錄
• R — 有限係數環

直觀、定義與常見誤解

尾端零不改多項式，須正規化。

加法逐項、乘法有限卷積並用R內運算。

有限係數集不限制degree，因此R[x]通常無限。

把有限係數環上的普通多項式環也叫有限載體，或在有零因子時硬套degree(fg)=degree f+degree g。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 有限交換環 — 係數加乘由父環完整表給出。
• 一元有理係數多項式 — 元素以有限係數序列表示。
• 數列 — 有限支撐係數序列及卷積使用索引。

驗證界線

只計算明示有限支撐多項式；不宣稱域、整環、UFD、Euclidean或有限載體。

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這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入多項式理想、商環與有限域多項式。

同源結構化資料

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