頂點式二次函數

數學敘述

令 q:R→R，q(x)=a(x−h)²+k，其中 a、h、k 為實數且 a≠0。其頂點為 (h,k)，對稱軸為 x=h；a>0 時全域最小值為 k，a<0 時全域最大值為 k，均在 x=h 取得。圖上 (x,q(x)) 關於該軸的對稱點為 (2h−x,q(x))。

代表公式（精確 TeX）

q(x)

成立條件

• 自變數遍及全部實數；若改成限制區間，極值不能不加檢查直接套用。
• a≠0，否則不是本條目的二次函數；題庫參數限定整數，使用精確代入。
• 代表公式 q(x) 只表示函數求值；完整頂點式與條件在敘述中。

符號作用域

• q — 實數頂點式二次函數
• x — 實數輸入

直觀、定義與常見誤解

平方非負，所以正 a 向上開口、負 a 向下開口。頂點是座標對，不是單一極值；另一方向沒有全域最大或最小值。

代入時先計 x−h，再平方、乘 a、加 k。負係數仍保持二次項，不能把負 a 改取絕對值。

x 與 2h−x 距離軸相同，平方項相等。x=h 時對稱點就是自身；移動 h 與輸入 x 同量不構成新的代入計算。

把頂點與極值混用，或在限制區間、零係數下直接沿用全實數二次結論。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 函數映射 — 宣告實數總函數的輸入與輸出。
• 一元實二次方程式 — 二次項與非零係數的語義。

驗證界線

整數頂點式切片可精確重算；全域極值及圖形對稱尚未附形式 Evidence。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

綁定平方非負、完整實數論域及頂點式恆等式；不把二次方程式 proof 冒充本物件 proof。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。