遞迴關係

數學敘述

令A_n=(a_{n-r+1},...,a_n)為order-r state vector；initial_values[j]=a_j，coefficients[j]乘a_{n-r+j}，新項為constant+sum_{j=0}^{r-1}coefficients[j]a_{n-r+j}。F先shift-left再append該new scalar term。必須明示order r、適用n≥r與全部r個初值。缺一初值、多值rule或未定義分母不得稱unique。有限生成只驗prefix，不證closed form、convergence或asymptotics。

代表公式（精確 TeX）

A_n=F(A_{n-1})

成立條件

• 正向families使用上述oldest-to-newest coefficient order的bounded exact integer linear recurrence及order-r state。
• target index有限且所有中間值保持safe integer。

符號作用域

• A_n — 包含最近r個scalar terms的遞迴state vector
• F — shift-left並append新項的全定義單值state更新規則

直觀、定義與常見誤解

order決定state width與所需initial count。

coefficient array由oldest a_(n-r)到newest a_(n-1)對齊。

forward generation shift-left後append新項，unique prefix不外推analytic behavior。

倒置coefficient順序、order二只給一個初值便稱唯一，或由少數項猜closed form當證明。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 數列 — indexed sequence。
• 方程式 — update equality。
• 函數映射 — total single-valued rule。

驗證界線

只處理明示有限步exact integer models。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入Catalan numbers與generating functions。

同源結構化資料

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