上確界與下確界

數學敘述

s=sup A需同時證s為upper bound且不大於任何其他upper bound；inf對偶。有限有理集合提供exact slice，開區間提供未取到端點的邊界。空集、無界集合與extended-real infinity不在本輪。

代表公式（精確 TeX）

s=sup(A)

成立條件

• 普通實值版本只處理非空且相應有界集合。
• 全部有限值與區間端點以exact rationals表示。

符號作用域

• sup — 上確界
• inf — 下確界

直觀、定義與常見誤解

upper bound與leastness必須同時成立。

sup/inf不必是member。

只有實際取到時才是maximum/minimum。

把supremum一律當集合中的最大元素。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 實數 — 順序完備carrier。
• 實數大小與順序 — 上下界。
• 集合 — 被界定集合。
• 量詞與明示論域 — least/greatest全稱責任。

驗證界線

本輪不處理空集、無界集合或extended reals。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入monotone convergence、Bolzano-Weierstrass與IVT。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。