第 19 題：座標平面距離計算

原題與已知條件

在歐幾里得平面上，點 P=(9, 13) 與 Q=(24, -99)。求距離 d(P,Q)。

• G001 — 在歐幾里得平面上，點 P=(9, 13) 與 Q=(24, -99)。求距離 d(P,Q)。

定義與適用範圍

距離取非負主平方根，沿用引用來源既有假設 a3；相同點的距離為零。本批兩點均不同，結果皆為正。

• mko-euclidean-length

逐步推導

P=(9,13), Q=(24,-99)

Δx=Q_x−P_x; Δy=Q_y−P_y

Δx := sub(24, 9)

Δx = 15

Δy := sub(-99, 13)

Δy = -112

(Δx)² := square(15)

(Δx)² = 225

(Δy)² := square(-112)

(Δy)² = 12544

d² := sum(225, 12544)

d² = 12769

d²=12769, d≥0

d=√(12769)=113

answer² := square(113)

answer² = 12769

逐步反向核對

• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 answer²，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 負平方根不是距離；不將平方距離直接當作距離。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 d²，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (Δy)²，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 (Δx)²，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Δy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Δx，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 交換兩點會同時改變差的符號，但不改變平方和。

結論

113

兩點距離為 113。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-24

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。